Просчитайте неравенства в задачах 5.32-5.35, 5.39-5.41. 5.32. 1) Какие значения х удовлетворяют условию х^2 < 9?

Суть вопроса: Решение неравенств

Объяснение:

1) Чтобы найти значения x, которые удовлетворяют условию x^2 < 9, мы должны найти корни уравнения x^2 - 9 < 0. Для этого выделяем множители и решим неравенство: (x - 3)(x + 3) < 0. Из этого следует, что x меньше -3 или больше 3, то есть -3 < x < 3.

2) Чтобы найти значения x, которые удовлетворяют условию (3x - 5)^2 < 1, мы решим неравенство: (3x - 5)^2 - 1 < 0. Выполняем раскрытие скобок: 9x^2 - 30x + 24 < 0. Решаем это неравенство и получаем, что x < 1/3 или x > 8/3.

3) Чтобы найти значения x, которые удовлетворяют условию (x - 7)^2 + 1 > 0, мы решим неравенство: (x - 7)^2 > -1. Поскольку квадрат всегда неотрицателен, это неравенство выполняется для всех значений x.

4) Чтобы найти значения x, которые удовлетворяют условию x^2 ≤ 4, мы решим неравенство: x^2 - 4 ≤ 0. Разлагаем на множители: (x - 2)(x + 2) ≤ 0. Получаем, что x ≤ -2 или x ≥ 2.

5) Чтобы найти значения x, которые удовлетворяют условию (2 - 5x)^2 ≤ 16, мы решим неравенство: (2 - 5x)^2 - 16 ≤ 0. Разлагаем на множители и решим неравенство: (5x - 6)(5x + 2) ≤ 0. Отсюда получаем, что x ≤ 2/5 или -6/5 ≤ x ≤ 2/5.

6) Чтобы найти значения x, которые удовлетворяют условию 49 - (3x + 2)^2 > 0, мы решим неравенство: (3x + 2)^2 - 49 < 0. Выполняем раскрытие скобок и решаем это неравенство: x < -7/3 или -5/3 < x < 1/3.

Демонстрацияы использования:

1) Задача 5.32:
а) Возьмем значения x больше -3 и меньше 3, например x = 0, 1 или 2.
б) Подставим значения x в исходное неравенство: 0^2 < 9, 1^2 < 9, 2^2 < 9.
в) Получаем, что значения x = 0, 1, 2 удовлетворяют условию.

2) Задача 5.35:
а) Возьмем значения x меньше 1/3 или больше 8/3, например x = 0 или 3.
б) Подставим значения x в исходное неравенство: (3*0 - 5)^2 < 1, (3*3 - 5)^2 < 1.
в) Получаем, что значения x = 0, 3 удовлетворяют условию.

Совет: Чтобы решать неравенства, вы должны быть знакомы с основными свойствами квадратных уравнений и уметь факторизовать квадратные выражения. Знайте, что неравенства может иметь несколько решений или не иметь их вовсе. Также помните, что нужно проверять значения x, подставляя их обратно в исходное неравенство, чтобы убедиться в их правильности.

Задание: Найдите значения x, которые удовлетворяют условию (2x + 1)^2 < 9.

Неравенства в задачах

Решение:

5.32. 1) Решим неравенство $x^2 < 9$. Для этого найдем значения $x$, при которых левая часть неравенства меньше правой. Раскроем скобки и получим $x^2 - 9 < 0$. Далее, факторизуем левую часть и получим $(x - 3)(x + 3) < 0$. Из данного факта можно сделать вывод, что неравенство выполняется, когда $x < -3$ или $x > 3$, так как произведение двух чисел отрицательно только тогда, когда одно из них положительное, а другое отрицательное.

5.39. 3) Решим неравенство $(3x - 5)^2 < 1$. Раскроем скобки и получим $9x^2 - 30x + 24 < 0$. Далее, факторизуем левую часть и получим $3(x - 4)(3x - 6) < 0$. Из данного факта можно сделать вывод, что неравенство выполняется, когда $x < \frac{2}{3}$ или $x > 4$, так как произведение двух чисел отрицательно только тогда, когда одно из них положительное, а другое отрицательное.

5.41. 5) Решим неравенство $(x - 7)^2 + 1 > 0$. Раскроем скобки и получим $x^2 - 14x + 48 > 0$. Далее, факторизуем левую часть и получим $(x - 6)(x - 8) > 0$. Из данного факта можно сделать вывод, что неравенство выполняется, когда $x < 6$ или $x > 8$, так как произведение двух чисел положительно только тогда, когда оба числа либо больше нуля, либо меньше нуля.

2) Решим неравенство $x^2 ≤ 4$. Для этого найдем значения $x$, при которых левая часть неравенства меньше или равна правой. Раскроем скобки и получим $x^2 - 4 ≤ 0$. Далее, факторизуем левую часть и получим $(x - 2)(x + 2) ≤ 0$. Из данного факта можно сделать вывод, что неравенство выполняется, когда $-2 ≤ x ≤ 2$, так как произведение двух чисел меньше или равно нулю только тогда, когда одно из них меньше или равно нулю, а другое больше или равно нулю.

4) Решим неравенство $(2 - 5x)^2 ≤ 16$. Раскроем скобки и получим $4 - 20x + 25x^2 ≤ 16$. Приведем подобные слагаемые и получим $25x^2 - 20x - 12 ≤ 0$. Далее, факторизуем левую часть и получим $(5x - 6)(5x + 2) ≤ 0$. Из данного факта можно сделать вывод, что неравенство выполняется, когда $-\frac{2}{5} ≤ x ≤ \frac{6}{5}$, так как произведение двух чисел меньше или равно нулю только тогда, когда одно из них меньше или равно нулю, а другое больше или равно нулю.

6) Решим неравенство $49 - (3x + 2)^2$. Раскроем скобки и получим $49 - 9x^2 - 12x - 4 > 0$. Приведем подобные слагаемые и получим $-9x^2 - 12x + 45 > 0$. Далее, факторизуем левую часть и получим $-(3x + 5)(3x - 3) > 0$. Из данного факта можно сделать вывод, что неравенство выполняется, когда $- \frac{5}{3} < x < 1$, так как произведение двух отрицательных чисел больше нуля только тогда, когда оба числа больше нуля.

Совет: При решении неравенств полезно представить их в виде факторизованного вида и анализировать знаки множителей для определения интервалов, на которых неравенство выполняется или не выполняется. Также стоит обращать внимание на знаки неравенств при раскрытии скобок.

Закрепляющее упражнение: Решите следующие неравенства:
а) $x^2 > 16$
б) $(2x - 3)^2 ≤ 25$
в) $(5x + 2)(x - 4) < 0$