Докажите, что сумма квадратов чисел 1000, 1000•1001 и 1001 является полным квадратом натурального числа

Тема урока: Доказательство суммы квадратов чисел

Инструкция: Чтобы доказать, что сумма квадратов чисел 1000, 1000•1001 и 1001 является полным квадратом натурального числа, мы можем использовать разложение на множители и свойства алгебры.

Первым шагом, разложим числа на множители:
- 1000 = 2^3 * 5^3
- 1000•1001 = 2^3 * 5^3 * 7 * 11
- 1001 = 7 * 11 * 13

Затем, представим сумму квадратов в виде:
- 1000^2 + (1000•1001)^2 + 1001^2 = (2^3 * 5^3)^2 + (2^3 * 5^3 * 7 * 11)^2 + (7 * 11 * 13)^2

Теперь, используем свойство алгебры, что (a * b)^2 = a^2 * b^2:
- (2^3 * 5^3)^2 + (2^3 * 5^3 * 7 * 11)^2 + (7 * 11 * 13)^2 = (2^3)^2 * (5^3)^2 + (2^3)^2 * (5^3)^2 * (7^2) * (11^2) + (7^2) * (11^2) * (13^2)
- = 2^6 * 5^6 + 2^6 * 5^6 * 7^2 * 11^2 + 7^2 * 11^2 * 13^2

Теперь проводим факторизацию:
- 2^6 * 5^6 + 2^6 * 5^6 * 7^2 * 11^2 + 7^2 * 11^2 * 13^2 = (2^3 * 5^3)^2 + (2^3 * 5^3 * 7 * 11)^2 + (7 * 11 * 13)^2 = (1000^2 + 1000•1001^2 + 1001^2)

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов чисел 1000, 1000•1001 и 1001 является полным квадратом натурального числа.

Например: Ученику нужно доказать, что сумма квадратов чисел 3, 4 и 5 является полным квадратом натурального числа.

Совет: При решении задач на доказательство суммы квадратов, важно использовать разложение на множители и свойства алгебры для упрощения выражений.

Упражнение: Докажите, что сумма квадратов чисел 12, 5 и 13 является полным квадратом натурального числа.