Постройте график функции y=x^2-6x+3 и определите следующее: a) корни функции; б) интервалы, на которых y равно нулю

Содержание: График функции y=x^2-6x+3

Описание: Для решения этой задачи, мы начнем с построения графика функции y=x^2-6x+3. Для начала нам нужно найти вершину параболы, а затем определить корни функции.

Чтобы найти вершину параболы, мы будем использовать формулу x = -b/2a, где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно. В данном случае, a = 1, b = -6.

x = -(-6)/2(1) = 6/2 = 3.

Значит, вершина параболы находится в точке (3, f(3)), где f(3) - значение функции при x = 3.

Теперь, чтобы найти корни функции, нам нужно решить уравнение x^2-6x+3 = 0. Мы можем использовать квадратное уравнение или формулу дискриминанта для этого.

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(3) = 36 - 12 = 24. Дискриминант положительный, что означает, что у нас есть два разных корня.

x1 = (-b + sqrt(D))/2a = (6 + sqrt(24))/(2*1) = (6 + 2sqrt(6))/2 = 3 + sqrt(6). Вычитаем корень, так как значение функции над параболой.

x2 = (-b - sqrt(D))/2a = (6 - sqrt(24))/(2*1) = (6 - 2sqrt(6))/2 = 3 - sqrt(6). То есть x1~8.449 и x2~-2.449

Теперь давайте рассмотрим интервалы, на которых y равно нулю и интервалы, на которых y принимает значения. Функция y=x^2-6x+3 нулю в данном случае, потому что это задание, примает только на этих 2у значениях, равных корням уравнения.

Интервалы, на которых функция возрастает и убывает, можно определить, исследовав коэффициенты при x^2 и x в уравнении. Если коэффициент при x^2 положительный, то это означает, что функция возрастает на промежутке. В нашем случае, коэффициент при x^2 равен 1 (1 > 0), так что функция возрастает на всем числовом промежутке. Это немного абстрактная концепция и для практики нужны уравнения.

Наименьшее значение функции можно найти, если мы знаем координаты вершины параболы. В нашем случае, вершина параболы находится в точке (3, f(3)). Значит, наименьшее значение функции равно f(3).

Например:
a) Корни функции: x1~8.449 и x2~-2.449.
b) Интервалы, на которых y равно нулю: x1~8.449 и x2~-2.449. Интервалы, на которых y принимает значения: (-∞, x2) и (x1, +∞).
c) Функция возрастает на всем числовом промежутке.
d) Наименьшее значение функции: f(3).

Совет: Для понимания и построения графика функции, рекомендуется запомнить основные концепции параболы, такие как вершина, корни, направление открытия и симметрия. Практикуйтесь в решении уравнений, используя формулы квадратного уравнения и дискриминанта.

Задание для закрепления: Постройте график функции y = x^2 + 2x - 1 и найдите корни функции, интервалы, на которых y равно нулю и интервалы, на которых y принимает значения, интервалы, на которых функция возрастает и убывает, и наименьшее значение функции.

Построение графика функции y=x^2-6x+3 и решение задачи:

а) Для того чтобы найти корни функции, нам нужно найти значения x, при которых y равно нулю. Для этого мы решим уравнение x^2-6x+3=0. Можно решить это уравнение, используя квадратное уравнение или графический метод. Если мы воспользуемся графическим методом, то мы увидим, что график функции пересекает ось X в двух точках. Таким образом, корни функции равны этим точкам пересечения.

б) Чтобы найти интервалы, на которых y равно нулю, мы должны определить, в каких интервалах функция принимает значения, меньшие или большие нуля. Для этого можно провести тестирование значений функции в нескольких точках на каждом интервале. Мы можем заметить, что функция принимает значения, меньшие нуля, на интервалах (-∞, a) и (b, +∞). И функция принимает значения, большие нуля, на интервале (a, b), где a и b - корни функции.

в) Чтобы определить интервалы, на которых функция возрастает и убывает, мы анализируем производную функции. Если производная положительна, то функция возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает. В данном случае производная функции равна 2x-6. Решая это уравнение, мы находим, что функция возрастает на интервале (3, +∞) и убывает на интервале (-∞, 3).

г) Чтобы найти наименьшее значение функции, мы можем использовать вершину параболы. В данном случае вершина имеет координаты (3, -6). Таким образом, наименьшее значение функции равно -6.

Пример:

а) Корни функции равны 3 и 1.

б) Интервалы, на которых y равно нулю: (-∞, 1) и (3, +∞). Интервал, на котором y принимает значения: (1, 3).

в) Функция возрастает на интервале (3, +∞) и убывает на интервале (-∞, 3).

г) Наименьшее значение функции равно -6.

Совет:

Для более полного понимания графиков функций и их характеристик, рекомендуется изучить процесс построения графиков квадратных функций, анализировать их свойства и знать основные методы решения уравнений. Практика в решении подобных задач поможет закрепить полученные знания.

Ещё задача:

Постройте график функции y=x^2-4x+4 и определите:

а) Корни функции;
б) Интервалы, на которых y равно нулю, и интервалы, на которых y принимает значения;
в) Интервалы, на которых функция возрастает и убывает;
г) Наименьшее значение функции.