Подробно решите неравенство [tex]0,5log_{6-x} (9-6x+x^{2} ) + 9log_{x-3} (9x-x^{2} -18) leq 3[/tex

Тема вопроса: Решение неравенств с использованием логарифмов

Инструкция:

Для решения данного неравенства, мы сначала приведем левую и правую части неравенства к единому базису логарифма.

Итак, у нас есть неравенство:

[tex]0,5 \log_{6-x}(9-6x+x^{2}) + 9 \log_{x-3}(9x-x^{2}-18) \leq 3[/tex]

Для начала, разделим данное неравенство на 0,5:

[tex]\log_{6-x}(9-6x+x^{2}) + 18 \log_{x-3}(9x-x^{2}-18) \leq 6[/tex]

Далее, преобразуем левую и правую части неравенства:

[tex]\log_{6-x}(9-6x+x^{2}) + 2 \log_{x-3}(9x-x^{2}-18) \leq 6[/tex]

Применяя свойства логарифмов и преобразуя записи, получим:

[tex]\log_{6-x}\left(\frac{9-6x+x^{2}}{(9x-x^{2}-18)^{2}}\right) \leq 6[/tex]

Теперь, избавимся от логарифма, возведя обе части неравенства в степень 10:

[tex]\frac{9-6x+x^{2}}{(9x-x^{2}-18)^{2}} \leq (6-x)^{10}[/tex]

Далее, перемножим обе части неравенства на квадратный корень из знаменателя и получим квадратное уравнение:

[tex](6-x)^{10} \cdot \left(9-6x+x^{2}\right) \leq (9x-x^{2}-18)^{2}[/tex]

Решением данного квадратного уравнения будет множество всех x, удовлетворяющих неравенству [tex]x \notin (3,6)[/tex].

Таким образом, решение данного неравенства - множество всех x, не принадлежащих интервалу (3,6).

Демонстрация:
Найдите решение неравенства: [tex]0,5\log_{6-x}(9-6x+x^{2}) + 9\log_{x-3}(9x-x^{2}-18) \leq 3[/tex].

Совет:
При решении неравенств с использованием логарифмов, всегда проверяйте полученное решение, подставляя значения отрезков между областями определения и корней в исходное неравенство, чтобы убедиться в его корректности.

Практика:
Решите неравенство [tex]2\log_{2x}(2-x) \leq \log_{\frac{x}{2}}(x-4)[/tex].

Суть вопроса: Решение неравенства с логарифмами
Описание:
Для решения данного неравенства с логарифмами, мы должны использовать свойства логарифмов и алгебраические методы. Начнем с разбора каждой части неравенства.

1. Первое слагаемое: [tex]0,5log_{6-x} (9-6x+x^{2})[/tex]
Мы знаем, что [tex]log_{a} b[/tex] представляет собой степень, в которую нужно возвести а, чтобы получить b. Используя это свойство, можем преобразовать [tex]0,5log_{6-x}(9-6x+x^{2})[/tex] в [tex]log_{6-x} \sqrt[2]{9-6x+x^{2}}[/tex].

2. Второе слагаемое: [tex]9log_{x-3} (9x-x^{2}-18)[/tex]
Аналогично первому слагаемому, мы можем преобразовать это в [tex]log_{x-3}(9x-x^{2}-18)^{9}[/tex].

Теперь мы можем переписать исходное неравенство в следующем виде:
[tex]log_{6-x} \sqrt[2]{9-6x+x^{2}} + log_{x-3} (9x-x^{2}-18)^{9} \leq 3[/tex]

Чтобы избавиться от логарифмов, мы можем использовать свойство логарифма, согласно которому логарифм суммы равен сумме логарифмов:
[tex]log_{6-x} \sqrt[2]{9-6x+x^{2}} + 9 log_{x-3} (9x-x^{2}-18) \leq 3[/tex]

Теперь мы можем применить свойство экспоненты, чтобы избавиться от логарифмов:
[tex]\sqrt[2]{9-6x+x^{2}} (9x-x^{2}-18)^{9} \leq (6-x)^{3} (x-3)^{9}[/tex]

Теперь нам необходимо решить получившееся уравнение. Это можно сделать различными способами, например, привести уравнение к общему виду и решив его численно или графически.

Совет:
Для более легкого понимания решения данного неравенства, рекомендуется внимательно изучить свойства логарифмов и экспонент.

Закрепляющее упражнение:
Решите неравенство и приведите его окончательный ответ.