Поделите многочлен `F(x)` на `G(x)` с остатком. Запишите уравнение `F(x)=p(x)*G(x)+r(x)`, где `p(x)` - есть частное

Деление многочлена с остатком

Инструкция:
Для деления многочленов с остатком нам нужно разделить многочлен `F(x)` на многочлен `G(x)` и записать частное и остаток в виде уравнения `F(x) = p(x) * G(x) + r(x)`, где `p(x)` - это частное, а `r(x)` - остаток.

Проверка верности этого уравнения предполагает раскрытие скобок и упрощение всех слагаемых в правой части.

а) Поделим многочлены `F(x) = x^3 + x^2 + 1` и `G(x) = x^4` с остатком. Решим это:

> `F(x) = 0 * G(x) + F(x) = 0 * x^4 + x^3 + x^2 + 1 = x^3 + x^2 + 1`
>
> Поскольку `F(x) = x^3 + x^2 + 1`, а `G(x) = x^4`, мы не можем разделить `F(x)` на `G(x)` без остатка.

б) Теперь посмотрим на многочлены `F(x) = x^5 + x - 1` и `G(x) = 3x^5 + x^2 - 2`:

> `F(x) = 0 * G(x) + F(x) = 0 * (3x^5 + x^2 - 2) + (x^5 + x - 1) = x^5 + x - 1`
>
> Так как `F(x) = x^5 + x - 1`, а `G(x) = 3x^5 + x^2 - 2`, мы также не можем разделить `F(x)` на `G(x)` без остатка.

в) Рассмотрим многочлены `F(x) = 2x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 6` и `G(x) = x^2 - 3x`:

> `F(x) = (2x^2 - 3x) + (2x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 6 - 2x^2 + 3x)`
>
> `F(x) = (2x^2 - 3x) + (2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x + 3x + 6)`
>
> `F(x) = (2x^2 - 3x) + 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 2x + 6`
>
> Таким образом, мы получили `p(x) = 2x^2 - 3x` и `r(x) = 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 2x + 6`. Подставив значения обратно в уравнение, мы легко можем проверить его верность.

Совет:
При делении многочленов с остатком важно внимательно следить за каждым слагаемым и правильно раскрывать скобки. Если вы затрудняетесь, начните с упрощения многочленов до минимального возможного вида и затем приступайте к делению.

Задача для проверки:
Разделите многочлен `F(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7` на многочлен `G(x) = x - 2` с остатком. Запишите уравнение `F(x) = p(x) * G(x) + r(x)` и проверьте его верность, упрощая правую часть уравнения.