Перечислите верные утверждения из следующих возможных вариантов ответа. 1) Значения a, для которых вершины параболы

Тема: Параболы

Объяснение:
1) Уравнение данной параболы f(x) = -x^2 + 2ax - a^2 + a + 1 имеет вид общего уравнения параболы y = ax^2 + bx + c. Вершина параболы находится в точке с координатами x = -b/2a, и значение y в этой точке равно c - b^2/4a. Зная эти формулы, мы можем сделать следующие выводы: вершины параболы образуют параболу, если дискриминант уравнения больше или равен нулю. В данном случае дискриминант равен 4a^2 - 4(-1)(-a^2 + a + 1) = 4a^2 + 4a^2 - 4a - 4a + 4 = 8a^2 - 8a + 4. Это выражение всегда больше нуля, так как коэффициент при a^2 положительный, и дискриминант отрицательным не может быть. Следовательно, первое утверждение верно.

2) Если функция f(x) = x^2 + px + q имеет только неотрицательные значения, то дискриминант этого уравнения должен быть меньше или равен нулю (иначе парабола будет направлена вниз и будет иметь отрицательные значения). Мы знаем, что дискриминант равен p^2 - 4q. По условию наименьшее значение выражения равно -1, значит, p^2 - 4q = -1. Так как мы ищем значение p + q, то добавим эти два уравнения: p^2 - 4q + p + q = -1 + (p + q), что упрощается до p^2 + p - 3q = p + q - 1.

3) Расположение вершин параболы f(x) = x^2 - 2ax + 2a^2 + 1 зависит от значения a. Если a > 0, то парабола будет направлена вверх и иметь минимум (вершина) в точке x = -(-2a)/(2) = a. Если a < 0, то парабола будет направлена вниз и иметь максимум (вершина) в точке x = -(-2a)/(2) = a. Если a = 0, то уравнение превращается в f(x) = x^2 + 1, и парабола будет направлена вверх с вершиной в точке (0, 1).

4) Уравнение параболы y = x^2 + px + q, которая проходит через заданную точку, может быть записано в виде y - y0 = (x - x0)^2, где (x0, y0) - координаты заданной точки. Подставив значения (x0, y0) в уравнение и приведя подобные члены, мы получим уравнение связи между p, q и 2p - q = 4.

Пример использования:
Перечислите верные утверждения из следующих возможных вариантов ответа:
1) Вершины параболы f(x) = −x^2 + 2ax − a^2 + a + 1 образуют параболу.
2) Значение p + q, если функция f(x) = x^2 + px + q принимает только неотрицательные значения и наименьшее значение выражения равно -1.
3) Расположение вершин параболы f(x) = x^2 − 2ax + 2a^2 + 1 для любого значения a.
4) Связь между p, q и уравнением 2p − q = 4 для всех парабол y = x^2 + px + q, которые проходят через одну точку.

Совет: Для более глубокого понимания парабол и их свойств, рекомендуется изучить графики парабол и основные формулы, такие как формула вершины, формула дискриминанта и т. д.

Упражнение: Дано уравнение параболы f(x) = 2x^2 - 3x + 1. Определите, вершина параболы будет направлена вверх или вниз, а также найдите координаты вершины.