What is the value of the expression (tangent squared 25 degrees minus tangent squared 15 degrees) divided by (1 minus

Содержание: Обратные тригонометрические функции.

Объяснение: Чтобы решить данное уравнение, мы должны использовать обратные тригонометрические функции.

Данное выражение можно переписать в следующем виде:

(tan^2(25) - tan^2(15)) / (1 - tan^2(25) * tan(15))

По определению, tan^2(x) = (sin^2(x) / cos^2(x)), и tan(x) = sin(x) / cos(x).

Заменим tan^2(25) и tan^2(15) на их численные значения:

((sin^2(25) / cos^2(25)) - (sin^2(15) / cos^2(15))) / (1 - (sin^2(25) / cos^2(25)) * (sin(15) / cos(15)))

Дальше используем формулу, которая позволяет нам привести sin^2(x) и cos^2(x) к общему знаменателю:

(sin^2(x) / cos^2(x)) = ((1 - cos^2(x)) / cos^2(x))

Применим эту формулу к нашему выражению и упростим его:

(((1 - cos^2(25)) / cos^2(25)) - ((1 - cos^2(15)) / cos^2(15))) / (1 - ((1 - cos^2(25)) / cos^2(25)) * (sin(15) / cos(15)))

Теперь умножим числитель и знаменатель на cos^2(25) * cos(15):

(((1 - cos^2(25)) * cos^2(15)) - ((1 - cos^2(15)) * cos^2(25))) / (cos^2(25) * cos^2(15) - (1 - cos^2(25)) * sin(15) * cos(25))

Теперь приведем числители подобные слагаемые, которые стоят рядом друг с другом:

(cos^2(15) - cos^2(25)) / (cos^2(25) * cos^2(15) - sin(15) * cos(25) + cos^2(25))

Далее в числителе выразим одну функцию через другую:

(sin^2(75) - sin^2(55)) / (cos^2(25) * cos^2(15) - sin(15) * cos(25) + cos^2(25))

Используем формулу sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

(1 - cos^2(75) - (1 - cos^2(55))) / (cos^2(25) * cos^2(15) - sin(15) * cos(25) + cos^2(25))

Дальше упростим выражение:

(cos^2(55) - cos^2(75)) / (cos^2(25) * cos^2(15) - sin(15) * cos(25) + cos^2(25))

Теперь заменим cos^2(55) и cos^2(75) на их численные значения:

(cos^2(55) - cos^2(75)) / (cos^2(25) * cos^2(15) - sin(15) * cos(25) + cos^2(25))

Наконец, используем значения cos(55) = 0.5736 и cos(75) = 0.259.

Таким образом, значение данного выражения будет:

(0.5736^2 - 0.259^2) / (cos^2(25) * cos^2(15) - sin(15) * cos(25) + cos^2(25))

Например:

Вопрос: Какое значение имеет выражение (квадрат тангенса 25 градусов минус квадрат тангенса 15 градусов), деленное на (1 минус квадрат тангенса 25 градусов, умноженное на тангенс 15 градусов)?

Ответ: (0.5736^2 - 0.259^2) / (cos^2(25) * cos^2(15) - sin(15) * cos(25) + cos^2(25))

Совет:

- Внимательно просмотрите все шаги преобразования, чтобы не допустить ошибок при подстановке численных значений.
- Проверьте свои вычисления с использованием калькулятора или программы для работы с тригонометрическими функциями.

Задача на проверку:

Вычислите значение выражения (cos^2(40) * sin(50)) / (sin^2(50) - cos^2(40))