Необходимо решить контрольную по 10 классу. Тема: степень с действительным показателем. Учебник Колягина. 1) Умножить

Суть вопроса: Степень с действительным показателем

Пояснение:
Степень с действительным показателем - это операция, которая возведет заданное число в степень, где показатель может быть дробным или отрицательным числом.

1) Чтобы решить данную задачу, мы последовательно выполним действия из условия.

a) Сначала умножим 3 в степени -3 на 81 в степени 1/2. Чтобы перемножить числа с одинаковой основой, сложим показатели степени: (-3) + (1/2) = -3 + 1/2 = -5/2.
Получаем: 3^-3 * 81^(1/2) = 3^-3 * 81^(1/2) = 1/3^3 * √81

b) Затем разделим это значение на 81 в степени 1/4. Аналогично, складываем показатели: (-5/2) - (1/4) = -5/2 - 1/4 = -11/4.
Получаем: (1/3^3 * √81) / 81^(1/4)

c) В конце разделим на 3 в степени -2. Вычитаем показатели степени: (-11/4) - (-2) = -11/4 + 2 = 5/4.
Получаем: (1/3^3 * √81) / 81^(1/4) / 3^-2 = (1/3^3 * √81) / 81^(1/4) / 3^2 = (1/3^3 * √81) / 81^(1/4) / 3^2

Теперь можно объединить все значения вместе и упростить, используя известные значения числа:
(1/3^3 * √81) / 81^(1/4) / 3^2 = (1/27 * 9) / 3^(1/2) / 9 = 1/3^(1/2) = 1/√3 = √3/3.

2) Задача заключается в том, чтобы выразить данное выражение в виде степени с основанием b.

a) У нас есть выражение b * b^1 + √3. Перезапишем √3 как 3^(1/2).
Получаем: b * b^1 + 3^(1/2).

b) Затем возводим полученное выражение в степень (1 + √3). Для этого умножаем показатели степени: 1 * (1 + √3) = 1 + √3.
Получаем: (b * b^1 + 3^(1/2))^(1 + √3).

c) Далее разделим результат на b в степени √3. Для этого вычитаем показатели степени: (1 + √3) - (√3) = 1.
Получаем: (b * b^1 + 3^(1/2))^(1 + √3) / b^√3.

Итак, мы выразили данное выражение в виде степени с основанием b: (b * b^1 + 3^(1/2))^(1 + √3) / b^√3.

3) В данной задаче нам нужно упростить данную дробь.

a) Имеем дробь (√a)^3 / (a - 2 * √a^1/2) + 1.
Заметим, что (√a)^3 = a^(3/2), и (√a^1/2) = a^(1/4), поэтому заменим значения.
Получаем: a^(3/2) / (a - 2 * a^(1/4)) + 1.

b) Теперь найдем общий знаменатель, который равен a.
Умножим первое слагаемое на a/a и второе слагаемое на 1 = a/a, чтобы получить одинаковый знаменатель.
Получаем: a * a^(3/2) / (a * (a - 2 * a^(1/4))) + a / a.

c) Упростим каждое слагаемое. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основами, складываем показатели: 1 + 3/2 = 5/2.
Получаем: a^(5/2) / (a - 2 * a^(1/4)) + a / a.

d) Далее сокращаем a в числителе с a в знаменателе, получаем: a^(5/2) / (a - 2 * a^(1/4)) + 1.

Таким образом, упрощенная дробь равна a^(5/2) / (a - 2 * a^(1/4)) + 1.

Совет: Для решения задач, связанных со степенями с действительным показателем, рекомендуется использовать правила степеней и знать основные свойства чисел и их степеней. Также полезно знать, как привести выражения к общему знаменателю или как преобразовывать корни в степень.

Дополнительное упражнение: Решите уравнение: 2^(x + 1) = 8^(2x - 1).