Где находится точка минимума функции: y =1/3x√x-3x+59?

Тема урока: Найти точку минимума функции

Пояснение: Чтобы найти точку минимума функции, нам нужно найти значение x, при котором функция достигает наименьшего значения y. Мы можем это сделать, вычислив производную функции и приравняв ее к нулю. Когда производная равна нулю, это означает, что у функции есть экстремум - точку максимума или минимума. В случае поиска точки минимума, нам нужно найти критические точки, где производная равна нулю или не существует, и затем проверить, являются ли они точками минимума, используя вторую производную.

Пошаговое решение:
1. Найдем первую производную функции y =1/3x√x-3x+59:
y" = (1/3) * (x^(-1/2)) * (x-3)
2. Приравняем полученную производную к нулю и решим уравнение:
(1/3) * (x^(-1/2)) * (x-3) = 0
3. Решим уравнение относительно x:
x^(-1/2) * (x-3) = 0
Поскольку x^(-1/2) не может быть равно нулю, мы можем проигнорировать этот сомножитель и решить второй сомножитель:
x - 3 = 0
x = 3
4. Теперь, чтобы убедиться, что найденная точка x = 3 является точкой минимума, нам нужно использовать вторую производную. Если вторая производная положительная, это означает, что у нас есть точка минимума.
5. Найдем вторую производную функции y =1/3x√x-3x+59:
y"" = (1/3) * (-1/2) * (x^(-3/2)) * (x - 3) + (1/3) * (x^(-1/2))
6. Подставим найденное значение x = 3 во вторую производную:
y""(3) = (1/3) * (-1/2) * (3^(-3/2)) * (3 - 3) + (1/3) * (3^(-1/2))
y""(3) = (1/3) * (3^(-1/2))
y""(3) > 0
Получается, что вторая производная положительная, следовательно, точка x = 3 является точкой минимума функции.

Совет: Решение задачи по поиску точки минимума функции включает производные и знаковые анализы. Чтобы лучше понять эти концепции, рекомендуется ознакомиться с материалом об обыкновенных производных и их свойствах, а также с использованием производной для определения экстремумов функций.

Закрепляющее упражнение: Найдите точку минимума функции y = 2x^2 - 4x + 3.