Найдите значения переменной x, при которых уравнение 6cos^2 4x + 2sin 8x = 5 имеет корни в интервале от -п

Содержание: Решение уравнения с тригонометрическими функциями

Разъяснение: Для решения данного уравнения, нам нужно найти значения переменной x, при которых уравнение имеет корни в интервале от -п.

Для начала, давайте приведем уравнение к виду, который нам будет удобнее решать. Заметим, что у нас есть две тригонометрические функции: cos и sin. Мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством sin^2 x + cos^2 x = 1, чтобы выразить sin^2 x через cos^2 x.

Подставим это тождество в уравнение и получим:
6(1 - sin^2 4x) + 2sin 8x = 5.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:
6 - 6sin^2 4x + 2sin 8x = 5.

Перенесем все члены уравнения влево:
6sin^2 4x - 2sin 8x + 1 = 0.

Теперь представим, что sin 4x = t. Тогда наше уравнение будет выглядеть следующим образом:
6t^2 - 2sin 8x + 1 = 0.

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной t. Решим его методом квадратного трехчлена или формулой дискриминанта, чтобы найти возможные значения t.

Применяя решение к данным значениям t, найденным из квадратного уравнения, мы можем выразить sin 4x и, таким образом, найти значения x, при которых уравнение имеет корни в интервале от -п.

Например: Найдите значения переменной x, при которых уравнение 6cos^2 4x + 2sin 8x = 5 имеет корни в интервале от -п.

Совет: При решении уравнений с тригонометрическими функциями, всегда старайтесь привести уравнение к более простому виду, используя соответствующие тригонометрические тождества.

Задача для проверки: Решите уравнение 3cos^2 2x + sin^2 x = 2 и найдите значения переменной x, удовлетворяющие условию.