Найдите все значения x, которые являются корнями уравнения 4/sin^2(7п/2-x) - 11/cosx +6=0 и принадлежат интервалу (2pi

Тема: Решение тригонометрических уравнений

Описание: Для решения данного уравнения требуется использовать свойства тригонометрических функций и алгебраические преобразования.

1. Сначала приведем все слагаемые к общему знаменателю, чтобы упростить уравнение. У нас есть два знаменателя: sin^2(7π/2 - x) и cos(x). Умножим первое слагаемое на cos(x), а второе слагаемое на sin^2(7π/2 - x):

4 * cos(x) / sin^2(7π/2 - x) - 11 * sin^2(7π/2 - x) / cos(x) + 6 * cos(x) * sin^2(7π/2 - x) = 0

2. После приведения к общему знаменателю мы получаем уравнение в виде:

4 * cos(x) - 11 * sin^2(7π/2 - x) + 6 * cos(x) * sin^2(7π/2 - x) = 0

3. Заменим sin^2(7π/2 - x) на 1 - cos^2(7π/2 - x), чтобы упростить уравнение:

4 * cos(x) - 11 * (1 - cos^2(7π/2 - x)) + 6 * cos(x) * (1 - cos^2(7π/2 - x)) = 0

4. Раскроем скобки и упростим:

4 * cos(x) - 11 + 11 * cos^2(7π/2 - x) + 6 * cos(x) - 6 * cos^3(7π/2 - x) = 0

5. Перепишем уравнение в терминах только cos(x):

-6 * cos^3(7π/2 - x) + 10 * cos(x) + 11 * cos^2(7π/2 - x) - 11 = 0

6. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

-6 * cos^3(7π/2 - x) + 11 * cos^2(7π/2 - x) + 10 * cos(x) - 11 = 0

7. Укажем cos(7π/2 - x) = sin(x) (это следует из тригонометрических идентичностей):

-6 * cos^3(7π/2 - x) + 11 * cos^2(7π/2 - x) + 10 * cos(x) - 11 = 0

-6 * sin^3(x) + 11 * sin^2(x) + 10 * cos(x) - 11 = 0

8. Дальше решаем получившееся уравнение при помощи методов решения тригонометрических уравнений, например, методом подстановки или преобразованием квадратных тригонометрических уравнений.

Пример использования: Решите уравнение 4/sin^2(7π/2-x) - 11/cosx +6=0 и найдите все значения x, которые принадлежат интервалу (2π; 7π/2).

Совет: Перед решением тригонометрического уравнения, убедитесь, что вы знакомы с основными свойствами тригонометрических функций и умеете преобразовывать уравнения, чтобы привести их к более удобному виду.

Упражнение: Решите уравнение 3cos^2(x) + 2sin(x) = 0 на интервале от 0 до 2π.