Какую алгебраическую сумму коэффициентов содержит многочлен, получаемый при разложении бинома Ньютона (4x−5)^13

Тема занятия: Бином Ньютона и алгебраическая сумма коэффициентов

Разъяснение: Бином Ньютона является формулой, которая позволяет разложить биномиальное выражение в виде многочлена. Формула Бинома Ньютона имеет вид:

\[ (a + b)^n = C_n^0 \cdot a^n \cdot b^0 + C_n^1 \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C_n^2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + ... + C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k + ... + C_n^n \cdot a^0 \cdot b^n \]

где \(n\) - степень бинома, \(a\) и \(b\) - переменные, а \(C_n^k\) обозначает биномиальный коэффициент, равный числу сочетаний \(n\) элементов по \(k\).

Многочлен, полученный при разложении бинома Ньютона \((4x - 5)^{13}\), будет иметь степень 13 и содержать 14 членов, включая постепенно убывающие степени \(4x\) и возрастающие степени \(-5\).

Алгебраическая сумма коэффициентов многочлена получается путем сложения всех коэффициентов многочлена. В данном случае, мы должны сложить все биномиальные коэффициенты, домноженные на значения переменной \(4x\), взятые от степени 0 до 13.

Найдем алгебраическую сумму коэффициентов:

\[ 4^0 \cdot (-5)^{13} + 4^1 \cdot (-5)^{12} + ... + 4^{12} \cdot (-5)^1 + 4^{13} \cdot (-5)^0 \]

Дальше, можно просуммировать все члены этой суммы, чтобы получить окончательный ответ.

Демонстрация: Найдите алгебраическую сумму коэффициентов для разложения бинома Ньютона \((6x - 7)^{10}\).

Совет: При выполнении подобных задач, обратите внимание на понятие биномиального коэффициента и выражений вида \(a^n\) и \(b^k\). Используйте формулу Бинома Ньютона для разложения биномиального выражения и последующей суммирования коэффициентов.

Задача для проверки: Вычислите алгебраическую сумму коэффициентов разложения бинома Ньютона \((2x - 3)^{7}\).