Найдите полное решение уравнения 4 * 16^sin^2x - 6 * 4^cos2x = 29 и определите все корни уравнения на интервале [3п/2

Название: Решение тригонометрического уравнения

Разъяснение: Для решения данного тригонометрического уравнения, мы можем использовать замечательные тригонометрические тождества и свойства функций синус и косинус. Давайте решим его:

Исходное уравнение: 4 * 16^(sin^2x) - 6 * 4^(cos2x) = 29

Прежде всего, заметим, что 16 = 4^2, а 4 = 2^2. Мы можем заменить эти значения в уравнение:

4 * (2^2)^(sin^2x) - 6 * (2^(2))^cos2x = 29

Пользуясь свойствами степеней, мы можем упростить это выражение:

4 * 2^(2*sin^2x) - 6 * 2^(2*cos2x) = 29

Мы видим, что оба слагаемых имеют основание 2 и мы можем привести их к общему основанию. Выразим 29 в виде степени 2, то есть 29 = 2^(4.86).

Теперь уравнение примет вид:

4 * 2^(2*sin^2x) - 6 * 2^(2*cos2x) = 2^(4.86)

Сравнивая оба выражения, мы можем приравнять показатели степеней:

2^(2*sin^2x) - 3 * 2^(2*cos2x) = 2^(4.86 - 2)

Так как основание в обоих частях уравнения одно и то же, мы можем приравнять только показатели степеней:

2*sin^2x - 3 * 2*cos2x = 4.86 - 2

Упростим это уравнение:

2*sin^2x - 3*2*cos2x = 2.86

Теперь преобразуем к более привычному виду, используя тригонометрические тождества. Обратимся к следующим формулам:

sin^2x = (1 - cos2x)/2

cos2x = cos^2x - sin^2x

Подставим эти значения в уравнение:

2*(1 - cos^2x)/2 - 3*2*(cos^2x - (1 - cos^2x)/2) = 2.86

Упростим это выражение:

1 - cos^2x - 3*(2*cos^2x - (1 - cos^2x)/2) = 2.86

Раскроем скобки:

1 - cos^2x - 3*(2*cos^2x - 1 + cos^2x/2) = 2.86

Упростим:

1 - cos^2x - 3*(3*cos^2x/2 - 1/2) = 2.86

1 - cos^2x - 9*cos^2x/2 + 9/2 = 2.86

Приведем подобные слагаемые и приведем уравнение к квадратному виду:

-11*cos^2x/2 - cos^2x/2 + 1/2 = 2.86 - 9/2

-12*cos^2x/2 = 2.86 - 9/2 - 1/2

-12*cos^2x/2 = 5.72 - 10/2

-12*cos^2x/2 = 5.72 - 5

-12*cos^2x/2 = 0.72

Перейдем теперь к решению квадратного уравнения:

-12*cos^2x/2 = 0.72

cos^2x/2 = -0.72/(-12)

cos^2x/2 = 0.06

cosx/2 = √0.06

cosx/2 = ± √(0.06)

Извлекаем корень:

cosx/2 = ± 0.2449

Теперь найдем значение x/2:

x/2 = arccos(± 0.2449)

x/2 = 1.3194 или x/2 = 1.9509

Так как x находится в интервале [3π/2, 3π], мы можем выразить его:

3π/2 < x < 3π

2 * x/2 > 2 * 1.3194

x > 2.6388

У нас есть два значения для x/2. Умножим их на 2, чтобы найти итоговые значения x:

x = 2 * 1.3194 = 2.6388

и

x = 2 * 1.9509 = 3.9018

Таким образом, полные решения уравнения на интервале [3π/2, 3π] равны: x = 2.6388 и x = 3.9018.

Демонстрация: Найдите полное решение уравнения 4 * 16^(sin^2x) - 6 * 4^(cos2x) = 29 на интервале [3п/2; 3п], пояснив, если возможно.

Совет: При решении тригонометрических уравнений всегда помните о тригонометрических тождествах и свойствах функций синус и косинус. Это поможет вам упростить уравнение и найти решение.

Упражнение: Найдите полное решение уравнения 2 * 9^(sin^2x) - 3 * 3^(cos2x) = 18 на интервале [п/3; 2п/3], пояснив, если возможно.