Найдите наивысшее и наинизшее значений функции y=x^3+3x^2-45x-2 на интервале: [-6

Суть вопроса: Нахождение наивысшего и наинизшего значений функции на интервале

Пояснение: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном интервале, следует использовать метод дифференциального исчисления. Сначала находим производную функции по переменной x, приравниваем её к нулю и решаем полученное уравнение, чтобы найти критические точки. Затем исследуем знаки производной в окрестностях критических точек, чтобы определить поведение функции на интервале.

Доп. материал: Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y=x^3+3x^2-45x-2 на интервале [-6, 6].

Решение:
1. Найдем производную функции: y" = 3x^2 + 6x - 45.
2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3x^2 + 6x - 45 = 0.
Получим два корня: x1 = -6 и x2 = 3.75 (округляем до 2 знаков после запятой).
3. Исследуем знаки производной в окрестностях критических точек:
- При x < -6, y" < 0, следовательно, функция убывает.
- При -6 < x < 3.75, y" > 0, следовательно, функция возрастает.
- При x > 3.75, y" < 0, следовательно, функция убывает.
4. Теперь найдем значения функции в концах интервала и в найденных критических точках:
- Для x = -6, y = (-6)^3 + 3(-6)^2 - 45(-6) - 2 = -680.
- Для x = 6, y = 6^3 + 3(6)^2 - 45(6) - 2 = -92.
- Для x = -6 и x = 3.75, найденные критические точки, подставим поочередно в функцию и найдем соответствующие значения y.
5. Сравним найденные значения функции и выберем наибольшее и наименьшее значение:
- Наибольшее значение: -92 (при x = 6).
- Наименьшее значение: -680 (при x = -6).

Совет: При решении задач на нахождение наивысших и наименьших значений функции помните о необходимости исследования знаков производной и подставления найденных критических точек в исходную функцию для получения итоговых значений функции.

Дополнительное упражнение: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1 на интервале [-2, 4].