На сколько точек экстремума рассчитывать у функций, представленных на изображениях графиков?

Название: Поиск экстремумов на графиках функций

Разъяснение:
Для нахождения точек экстремума на графике функции нужно использовать производную функции. Экстремумы возникают там, где производная функции равна нулю или не существует.

Если функция непрерывна и дифференцируема, то точку, в которой производная равна нулю, называют критической точкой. Чтобы определить, является ли данная критическая точка точкой максимума или минимума, нужно проанализировать окрестность этой точки. Если производная функции меняет знак с «плюс» на «минус», то это точка максимума, если с «минус» на «плюс», то это точка минимума.

Однако, существуют и другие типы экстремумов. Если производная не существует в точке (например, есть разрыв), то эту точку можно считать экстремумом.

На графике можно рассчитывать на следующее количество экстремумов:
- Если функция монотонно возрастает или убывает на всей области определения, то экстремумов нет.
- Если функция имеет n перегибов, то количество экстремумов будет n+1.
- Если функция имеет n критических точек, то количество экстремумов будет не больше, чем n.

Дополнительный материал:
У нас есть график функции y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5. Чтобы найти точки экстремума, мы вычисляем производную этой функции: y" = 3x^2 - 6x - 9. Затем решаем уравнение y" = 0 и получаем x = -1 и x = 3. Для анализа знаков изменения производной функции используем тестовые значения: x < -1, -1 < x < 3, x > 3. Мы видим, что производная меняет знак с «плюс» на «минус» при x < -1, поэтому у нас есть точка максимума. При -1 < x < 3 производная меняется с «минус» на «плюс», поэтому у нас есть точка минимума. При x > 3 производная снова поменяет знак с «плюс» на «минус», что означает, что у нас есть вторая точка максимума.

Совет:
Чтобы лучше понять процесс поиска экстремумов на графиках функций, рекомендуется изучить материал о производных функций и их геометрическом смысле. Решайте практические задачи, чтобы разобраться с алгоритмом поиска точек экстремума.

Задание:
Рассмотрим график функции y = x^4 - 4x^3 + 6x^2. На сколько точек экстремума нужно рассчитывать на данном графике?