На основе таблицы с данными о производной y=f′(x), определите: а) Интервалы, на которых функция возрастает

Тема занятия: Производная функции и её интерпретация

Пояснение: Производная функции является одним из основных понятий математического анализа. Она позволяет определить скорость изменения значения функции по отношению к её аргументу. Для данной задачи необходимо рассмотреть таблицу с данными о производной функции y=f"(x).

a) Интервалы, на которых функция возрастает:
Для определения интервалов, на которых функция возрастает, нужно найти все положительные значения производной. Если производная положительна на интервале [a, b], то функция возрастает на этом интервале.

б) Интервалы, на которых функция убывает:
Для определения интервалов, на которых функция убывает, нужно найти все отрицательные значения производной. Если производная отрицательна на интервале [c, d], то функция убывает на этом интервале.

в) Точки, в которых функция достигает максимума:
Максимальное значение функции может быть достигнуто в точках, где производная меняет знак с положительного на отрицательный. То есть, если производная на интервале [e, f] положительна, а на интервале [f, g] отрицательна, то функция достигает максимума в точке f.

г) Точки, в которых функция достигает минимума:
Минимальное значение функции может быть достигнуто в точках, где производная меняет знак с отрицательного на положительный. То есть, если производная на интервале [h, i] отрицательна, а на интервале [i, j] положительна, то функция достигает минимума в точке i.

Пример: Представим, что таблица с данными о производной функции y=f"(x) выглядит следующим образом:

| x | f"(x) |
|----|-------|
| -3 | 1 |
| 0 | -2 |
| 4 | 0 |
| 7 | 3 |

а) Функция возрастает на интервалах (-∞, -3), (4, 7).
б) Функция убывает на интервалах (-3, 0), (7, +∞).
в) Функция достигает максимума в точке x = 4.
г) Функция достигает минимума в точке x = 0.

Совет: Для лучшего понимания задачи важно знать свойства производных и их интерпретацию в контексте функций. Решение задач на определение интервалов возрастания и убывания, а также нахождение экстремумов функции, требует внимательного анализа производной и её значения на различных интервалах.

Задание для закрепления: Дана таблица с производной функции y=f"(x):

| x | f"(x) |
|----|-------|
| -2 | 2 |
| 0 | -1 |
| 3 | 0 |
| 6 | -2 |

На каких интервалах функция возрастает и убывает? В каких точках достигаются максимум и минимум функции? Ответы необходимо обосновать с помощью значений производной.