На каких значениях x функция f(x)=x^2 уменьшается: на промежутке [0;+∞), на промежутке (−∞;0], на промежутке [−∞;+∞

Содержание вопроса: Исследование функции f(x)=x^2

Описание: Функция f(x) = x^2 - это квадратная функция. Чтобы определить, на каких значениях x функция уменьшается, необходимо рассмотреть значение производной функции. Если производная отрицательна на определенном промежутке, это означает, что функция уменьшается на этом промежутке.

Производная функции f(x) = x^2 можно найти, применяя правило степенной функции: при дифференцировании x^n, где n - положительная целая константа, получаем nx^(n-1).

Применим это правило:

f"(x) = 2x

Теперь рассмотрим знак производной функции f"(x) в разных интервалах:

1. На промежутке [0;+∞): При x > 0, значение производной f"(x) положительное. Это означает, что функция f(x) = x^2 увеличивается, а не уменьшается.

2. На промежутке (−∞;0]: При x < 0, значение производной f"(x) отрицательное. Это означает, что функция f(x) = x^2 уменьшается на этом интервале.

3. На промежутке [−∞;+∞]: Функция f(x) = x^2 является параболой с вершиной в точке (0, 0). Следовательно, она увеличивается на всех значениях x, за исключением x=0.

4. На промежутке (0;0): Этот интервал не имеет физического смысла, так как неправильно задан с двумя одинаковыми границами.

Пример: На промежутке (-∞;0] функция f(x) = x^2 уменьшается.

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, помните, что увеличение или уменьшение функции связано с изменением ее наклона. Производная функции помогает определить знак наклона в различных интервалах, что помогает понять увеличение или уменьшение функции.

Закрепляющее упражнение: На каком промежутке функция f(x) = x^3 увеличивается?