Можно ли сказать, что функция f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1 является возрастающей на всей числовой прямой?

Название: Функции и их монотонность

Описание: Чтобы определить, является ли функция возрастающей на всей числовой прямой, нужно изучить знак ее производной.

Для данной функции f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1, мы можем найти ее производную, взяв производные каждого слагаемого по отдельности и сложив их. Производная функции f(x) равна f"(x) = 6x² - 6x + 6.

Теперь мы можем проанализировать знак производной на всей числовой прямой.

Чтобы понять, когда производная положительна (или функция возрастает), мы решаем следующее неравенство:

f"(x) > 0

Решим неравенство: 6x² - 6x + 6 > 0.

Можно заметить, что уравнение квадратное, поэтому можно использовать квадратное уравнение для его решения. Однако есть более простой способ определить знак производной для этой функции.

Заметим, что коэффициент при старшей степени x в производной равен 6, что является положительным числом. Это означает, что график функции открывается вверх, и производная будет положительной при всех значениях переменной x.

Таким образом, функция f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1 является возрастающей на всей числовой прямой.

Дополнительный материал: Найдите множество значений x, при которых функция f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1 возрастает.

Совет: Чтобы лучше понять монотонность функций, можно нарисовать график функции или построить таблицу значений, чтобы проанализировать изменение функции на разных интервалах.

Ещё задача: Проверьте монотонность функции g(x) = x² - 2x + 1 на всей числовой прямой.