Когда производная будет равна нулю, в какой момент времени точка остановится?

Тема: Производные и момент остановки

Объяснение: Производная - это показатель скорости изменения функции в каждой ее точке. Когда производная функции равна нулю в определенной точке, это означает, что функция достигает экстремума (максимума или минимума) в этой точке. Если производная равна нулю в какой-то точке, то это может означать, что объект, описываемый этой функцией, находится в состоянии покоя или остановки в этот момент времени.

Например, рассмотрим функцию, описывающую движение автомобиля по прямой дороге. Пусть f(t) обозначает положение автомобиля в момент времени t. Если производная f'(t) равна нулю в какой-то точке t0, то это означает, что автомобиль остановится в этот момент времени.

Пример использования: Допустим, функция f(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t описывает положение автомобиля в момент времени t. Найдем моменты времени, когда автомобиль остановится, то есть когда производная функции равна нулю.

Сначала найдем производную функции: f'(t) = 6t^2 - 18t + 12.

Затем приравняем производную нулю и решим полученное уравнение: 6t^2 - 18t + 12 = 0.

Решив это уравнение, получим два значения t: t1 = 1 и t2 = 2. Это означает, что автомобиль остановится в моменты времени t1 = 1 и t2 = 2.

Совет: Чтобы лучше понять, когда объект остановится или находится в состоянии покоя, обратите внимание на изменение знака производной вокруг точки, где она равна нулю. Если производная меняет знак с плюса на минус, то это указывает на локальный максимум, а если с минуса на плюс - на локальный минимум. Если производная не меняет знак, то объект находится в состоянии покоя.

Упражнение: Рассмотрим функцию g(t) = -3t^2 + 6t - 9. В какой момент времени точка остановится? Найдите это время, найдя значение t, когда производная g'(t) равна нулю.