Какой вид распределения у случайной величины X, которая представляет собой количество извлеченных красных карандашей

Тема: Распределение гипергеометрического типа
Пояснение:
Случайная величина X, представляющая собой количество извлеченных красных карандашей из 3 случайно выбранных из коробки, имеет гипергеометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение моделирует выборку без возвращения из конечной популяции, состоящей из двух типов элементов.

Функция распределения F(x) для гипергеометрического распределения может быть найдена с помощью формулы:
F(x) = Σ (i = 0 to x) (C(R, i) * C(N - R, n - i)) / C(N, n),
где R - количество красных карандашей в коробке, N - общее количество карандашей в коробке, n - количество выбранных карандашей.

Математическое ожидание (μ) гипергеометрического распределения вычисляется по формуле:
μ = n * (R / N).

Дисперсия (σ^2) гипергеометрического распределения вычисляется по формуле:
σ^2 = n * (R / N) * [(N - R) / N] * [(N - n) / (N - 1)].

Для данной задачи график функции распределения F(x) будет выглядеть как лестница, с вертикальными линиями в точках x = 0, x = 1, x = 2 и x = 3. Вероятности событий X < 3 и 0 < X ≤ 2 могут быть определены, найдя соответствующие значения функции распределения F(x) в этих точках.

Пример использования:
Задача: Найдите функцию распределения F(x), математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, описанной в условии задачи.
Решение:
Для данной задачи:
R = количество красных карандашей в коробке,
N = общее количество карандашей в коробке (на данном этапе неизвестно),
n = количество выбранных карандашей (n = 3).

Допустим, в коробке есть 8 красных карандашей. Тогда R = 8, а общее количество карандашей N = 20 (предположим).

Теперь можем найти F(x), μ и σ^2:

F(x) = Σ (i = 0 to x) (C(R, i) * C(N - R, n - i)) / C(N, n),
F(0) = (C(8, 0) * C(20 - 8, 3 - 0)) / C(20, 3) = (1 * 12) / 1140 = 0.0105,
F(1) = (C(8, 0) * C(12, 3 - 0)) / C(20, 3) + (C(8, 1) * C(12, 3 - 1)) / C(20, 3) = (1 * 12 + 8 * 12) / 1140 = 0.1228,
F(2) = (C(8, 0) * C(12, 3 - 0)) / C(20, 3) + (C(8, 1) * C(12, 3 - 1)) / C(20, 3) + (C(8, 2) * C(12, 3 - 2)) / C(20, 3) = (1 * 12 + 8 * 12 + 28 * 12) / 1140 = 0.4298,
F(3) = (C(8, 0) * C(12, 3 - 0)) / C(20, 3) + (C(8, 1) * C(12, 3 - 1)) / C(20, 3) + (C(8, 2) * C(12, 3 - 2)) / C(20, 3) + (C(8, 3) * C(12, 3 - 3)) / C(20, 3) = (1 * 12 + 8 * 12 + 28 * 12 + 56 * 12) / 1140 = 1.0000.

Таким образом, функция распределения F(x) будет выглядеть следующим образом:

F(0) = 0.0105
F(1) = 0.1228
F(2) = 0.4298
F(3) = 1.0000

Математическое ожидание:
μ = n * (R / N) = 3 * (8 / 20) = 1.2.

Дисперсия:
σ^2 = n * (R / N) * [(N - R) / N] * [(N - n) / (N - 1)] = 3 * (8 / 20) * [(20 - 8) / 20] * [(20 - 3) / (20 - 1)] = 0.72.

Вероятности событий можно вычислить, используя функцию распределения F(x):
P(X < 3) = F(2) = 0.4298,
P(0 < X ≤ 2) = F(2) - F(0) = 0.4298 - 0.0105 = 0.4193.

Совет:
Для лучшего понимания гипергеометрического распределения и его применений, рекомендуется изучить понятие комбинаторики, особенно сочетания (C(n, k)). Изучение комбинаторики поможет лучше понять формулы, используемые для вычисления функции распределения, математического ожидания и дисперсии.

Задание:
Дана коробка с 10 красными и 15 синими шариками. Из этой коробки случайным образом выбирают три шарика. Найдите вероятность того, что среди выбранных шариков будет ровно один красный.