Какой многочлен получится, если сложить многочлен x^4-x^2+1 и перемножить многочлены 1-x^2 и x^2+1?

Содержание вопроса: Многочлены

Пояснение:
Чтобы решить данную задачу, мы должны сложить многочлен x^4 - x^2 + 1 и перемножить многочлены 1 - x^2 и x^2 + 1.

Сначала сложим многочлены x^4 - x^2 + 1 и 1 - x^2:
x^4 - x^2 + 1 + 1 - x^2 = x^4 - 2x^2 + 2

Затем умножим полученный многочлен на (x^2 + 1):
(x^4 - 2x^2 + 2)(x^2 + 1) = x^6 + x^4 - 2x^4 - 2x^2 + 2x^2 + 2

Упрощая этот многочлен, мы получим:
x^6 - x^4 + 2

Таким образом, результатом сложения многочленов x^4 - x^2 + 1 и 1 - x^2, а затем перемножения полученного многочлена на x^2 + 1 будет многочлен x^6 - x^4 + 2.

Например:
x^4-x^2+1 + (1-x^2)(x^2+1) = x^6 - x^4 + 2

Совет:
Чтобы лучше понять работу с многочленами, полезно ознакомиться с основными правилами сложения и умножения многочленов. Также рекомендуется практиковаться в решении задач на сложение и умножение многочленов, чтобы лучше понять их применение.

Упражнение:
Найдите результат умножения многочленов (x^2 - 3)(x^3 + 2x^2 - 5x + 1).

Содержание: Решение алгебраических задач

Инструкция: Для решения данной задачи, нам потребуется сложить многочлены и затем перемножить их. Давайте разобьем решение на две части:

1. Сложение многочленов `x^4 - x^2 + 1` и `1 - x^2`:
- Сначала сгруппируем одинаковые степени переменных: `x^4 + (-x^2 + 1) + (-x^2)`.
- Теперь сложим одинаковые степени: `x^4 + (-2x^2 + 1)`.

2. Умножение многочленов `1 - x^2` и `x^2 + 1`:
- Умножим каждый терм первого многочлена на каждый терм второго многочлена, используя правило распределительности:

`(1 * x^2) + (1 * 1) + (-x^2 * x^2) + (-x^2 * 1)`.

- Упростим полученное выражение: `x^2 + 1 - x^4 - x^2`.
- Сгруппируем одинаковые степени переменных: `-x^4 + (x^2 - x^2) + 1`.
- Упростим дальше: `-x^4 + 0 + 1`.

Теперь, чтобы получить ответ на исходную задачу, сложим результаты первого и второго этапов:

`x^4 + (-2x^2 + 1) + (-x^4 + 1)`.
Упростим: `x^4 - x^4 - 2x^2 + 1 + 1`.
Сокращаем `x^4 - x^4` и суммируем: `-2x^2 + 2`.

Таким образом, результатом сложения многочленов `x^4 - x^2 + 1` и перемножения многочленов `1 - x^2` и `x^2 + 1` будет многочлен `-2x^2 + 2`.

Совет: При решении подобных задач, важно быть внимательным и точно выполнять каждый шаг. Также полезно освежить в памяти правила сложения и умножения многочленов. Регулярная практика поможет вам развить навыки в решении алгебраических задач.

Дополнительное задание: Разберите и вычислите результат выражения `3x^3 - 2x^2 + 4x - 1` при подстановке `x = 2`.