Какой коэффициент у а^3 в разложении выражения (а+1 а)^9, используя формулу бинома Ньютона?

Тема: Разложение по формуле бинома Ньютона

Инструкция:
Для решения данной задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона, которая имеет вид:

(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n,

где С(n, k) - биномиальный коэффициент. В данной задаче a равно "a" и b равно "1/a".

Так как мы ищем коэффициент при a^3, то нам нужно определить, при каком из слагаемых в разложении бинома Ньютона будет данная степень.

Обращаем внимание, что каждый коэффициент С(n, k) равен C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где n! - факториал числа n.

В нашем случае, для разложения (a + 1/a)^9 коэффициент при a^3 можно определить следующим образом:

C(9, k) * a^(9-k) * (1/a)^k = C(9, k) * a^(9-k) * a^(-k) = C(9, k) * a^(9-2k).

Таким образом, чтобы найти коэффициент при a^3, мы должны получить 9 - 2k = 3, откуда получаем k = 3.

Таким образом, коэффициент у a^3 в разложении выражения (a + 1/a)^9 равен C(9, 3), то есть биномиальному коэффициенту С(9, 3).

Пример использования:
Задача: Найдите коэффициент у a^3 в разложении выражения (a + 1/a)^9.

Шаг 1: Получаем k из уравнения 9 - 2k = 3,
то есть k = (9 - 3) / 2 = 3.

Шаг 2: Вычисляем биномиальный коэффициент С(9, 3) = 9! / (3! * (9 - 3)!) = 84.

Ответ: Коэффициент у a^3 в разложении выражения (a + 1/a)^9 равен 84.

Совет: Для лучшего понимания разложения по формуле бинома Ньютона, рекомендуется ознакомиться с понятием биномиальных коэффициентов и факториала числа.

Упражнение: Найдите коэффициент у a^4 в разложении выражения (a + 1/a)^8.