Какой коэффициент при x^4 в выражении (2x^2+2x+1)^5?

Название: Коэффициент при x^4 в выражении (2x^2+2x+1)^5

Инструкция:
Для решения этой задачи, нам понадобится использовать Бином Ньютона, который позволяет раскрыть выражение вида (a + b)^n. Коэффициент при x^4 будет определяться сочетанием соответствующих членов этого разложения.

В нашем случае у нас есть выражение (2x^2 + 2x + 1)^5. Для раскрытия этого выражения используем формулу Бинома Ньютона:

(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1) * a * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n

Где C(n, k) обозначает количество сочетаний из n по k, a и b - это два слагаемых в нашем выражении, a^n и b^k - это соответствующие степени этих слагаемых.

В нашем случае a = 2x^2, b = 2x и n = 5.

Теперь мы можем использовать формулу Бинома Ньютона, чтобы найти коэффициент при x^4:

C(5, 2) * (2x^2)^(5-2) * (2x)^(2) = 10 * (2x^2)^3 * (2x)^2 = 10 * 8x^6 * 4x^2 = 320x^8

Таким образом, коэффициент при x^4 в выражении (2x^2 + 2x + 1)^5 равняется 0.

Совет: Для более легкого понимания Бинома Ньютона, рекомендуется ознакомиться с сочетаниями и степенями. Помните, что для решения подобных задач важно внимательно разобраться с формулами и правилами, применяемыми к сочетаниям и степеням.

Задание для закрепления: Найдите коэффициент при x^3 в выражении (3x^2 + 4x + 2)^4.