Каковы все решения системы уравнений, где (x + 4y)(5x - 2y) = 0 и 2x^2 - 3xy + y^2?

Тема вопроса: Решение системы уравнений

Инструкция:
Для начала, посмотрим на первое уравнение (x + 4y)(5x - 2y) = 0. Здесь у нас есть произведение двух выражений, и оно равно нулю. Чтобы произведение было равно нулю, одно из выражений (x + 4y) или (5x - 2y) также должно быть равно нулю. Мы можем представить два случая:
1. x + 4y = 0
2. 5x - 2y = 0

Теперь посмотрим на второе уравнение 2x^2 - 3xy + y^2. Мы можем переписать его в виде (x-y)(2x-y) = 0. Здесь также имеем произведение двух выражений, равное нулю. Таким образом, мы можем представить ещё два случая:
3. x - y = 0
4. 2x - y = 0

Теперь, чтобы найти решение системы, нужно решить каждый из этих случаев относительно x и y.

Доп. материал:
Найдём все решения системы уравнений (x + 4y)(5x - 2y) = 0 и 2x^2 - 3xy + y^2.

1. Случай: x + 4y = 0
Решаем это уравнение относительно x: x = -4y
Подставляем это значение обратно во второе уравнение:
2(-4y)^2 - 3(-4y)y + y^2 = 0
32y^2 + 12y^2 + y^2 = 0
45y^2 = 0
y = 0
x = 0

Таким образом, первое решение: x = 0, y = 0.

2. Случай: 5x - 2y = 0
Решаем это уравнение относительно x: x = (2y)/5
Подставляем это значение обратно во второе уравнение:
2((2y)/5)^2 - 3((2y)/5)y + y^2 = 0
(44y^2)/25 - (36y^2)/25 + y^2 = 0
(8y^2)/25 = 0
y = 0
x = 0

Второе решение: x = 0, y = 0.

3. Случай: x - y = 0
Решаем это уравнение относительно x: x = y
Подставляем это значение обратно во второе уравнение:
2y^2 - 3y^2 + y^2 = 0
0 = 0

Это уравнение верно для любого значения y.

Третье решение: x = y, y - любое число.

4. Случай: 2x - y = 0
Решаем это уравнение относительно x: x = y/2
Подставляем это значение обратно во второе уравнение:
2(y/2)^2 - 3(y/2)y + y^2 = 0
(y^2)/2 - (3y^2)/2 + y^2 = 0
-y^2/2 = 0
y = 0
x = 0

Четвёртое решение: x = 0, y = 0.

Таким образом, все решения системы уравнений равны: (0, 0) и (x, y), где x = y, y - любое число.

Совет:
Чтобы лучше понять системы уравнений, полезно знать методы решения, такие как методы подстановки, методы сложения/вычитания и методы определителей. Также важно разобраться в сокращении уравнений и заменах переменных. Практика решения различных примеров систем уравнений поможет вам освоить эти методы.

Практика:
Решите систему уравнений:
1. 2x + 3y = 10
x - y = 5
2. x^2 + y^2 = 25
x + y = 7