Каковы местоположения экстремумов функций F(x) = 5sin(8x) - 6 и F(x) = 2cos(3x

Тема: Местоположение экстремумов функции

Инструкция: Для определения местоположения экстремумов функций нам необходимо найти точки, где производная функции равна нулю или не определена (если функция не определена в этой точке). Эти точки называются критическими точками.

Для функции F(x) = 5sin(8x) - 6:
1. Найдем производную функции F(x) по переменной x. Производной функции синуса является косинус, а производной константы (-6) является ноль. Поэтому производная F'(x) = 40cos(8x).
2. Приравняем производную F'(x) к нулю и решим уравнение: 40cos(8x) = 0. Решение этого уравнения даст нам значения x, при которых производная F'(x) равна нулю.
3. Выражение cos(8x) = 0 при x = pi/16 + k*pi/8 и x = -pi/16 + k*pi/8, где k - целое число.
4. Подставим значения x в исходную функцию F(x), чтобы найти соответствующие значения y.

Для функции F(x) = 2cos(3x) - 1:
1. Найдем производную функции F(x) по переменной x. Производной косинуса является минус синус, а производной константы (-1) является ноль. Поэтому производная F'(x) = -6sin(3x).
2. Приравняем производную F'(x) к нулю и решим уравнение: -6sin(3x) = 0. Решение этого уравнения даст нам значения x, при которых производная F'(x) равна нулю.
3. Выражение sin(3x) = 0 при x = k*pi/3, где k - целое число.
4. Подставим значения x в исходную функцию F(x), чтобы найти соответствующие значения y.

Пример использования:
Для функции F(x) = 5sin(8x) - 6:
- Найдем критические точки: x = pi/16, -pi/16.
- Подставим эти значения в функцию F(x), чтобы найти соответствующие значения y:
- F(pi/16) = 5sin(8*pi/16) - 6 = 5sin(pi/2) - 6 = 5*1 - 6 = -1
- F(-pi/16) = 5sin(8*(-pi/16)) - 6 = 5sin(-pi/2) - 6 = 5*(-1) - 6 = -11

Для функции F(x) = 2cos(3x) - 1:
- Найдем критические точки: x = 0, pi/3, 2pi/3.
- Подставим эти значения в функцию F(x), чтобы найти соответствующие значения y:
- F(0) = 2cos(3*0) - 1 = 2cos(0) - 1 = 2*1 - 1 = 1
- F(pi/3) = 2cos(3*(pi/3)) - 1 = 2cos(pi) - 1 = 2*(-1) - 1 = -3
- F(2pi/3) = 2cos(3*(2pi/3)) - 1 = 2cos(2*pi) - 1 = 2*1 - 1 = 1

Совет: Для решения таких задач полезно знать основные свойства и производные тригонометрических функций.

Упражнение: Найдите местоположения экстремумов функции F(x) = 3sin(5x) и F(x) = cos(2x) - 2.