Каковы координаты точки минимума функции y=19+81x-x^3/3? Каковы координаты точки максимума функции y=50/x+2x+6?

Математика: Поиск экстремумов функций

Инструкция: Чтобы найти координаты точки минимума или максимума функции, мы должны использовать производные. Возьмем первую производную функции и приравняем ее к нулю. Затем найдем значения x, удовлетворяющие этому условию. Подставим эти значения обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y.

Доп. материал:
1. Функция: y = 19 + 81x - x^3/3
- Найдем первую производную по x: y" = 81 - x^2
- Приравняем к нулю: 81 - x^2 = 0
- Решим это уравнение: x^2 = 81
- x = ±9
- Подставим оба значения обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:
- Для x = 9: y = 19 + 81(9) - (9^3)/3 = 619
- Для x = -9: y = 19 + 81(-9) - (-9^3)/3 = -539

Таким образом, координаты точки минимума функции y = 19 + 81x - x^3/3: (9, 619) и (-9, -539).

2. Функция: y = 50/x + 2x + 6
- Найдем первую производную по x: y" = -50/x^2 + 2
- Приравняем ее к нулю: -50/x^2 + 2 = 0
- Решим это уравнение: -50 + 2x^2 = 0
- 2x^2 = 50
- x^2 = 25
- x = ±5
- Подставим оба значения обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:
- Для x = 5: y = 50/5 + 2(5) + 6 = 16
- Для x = -5: y = 50/(-5) + 2(-5) + 6 = -4

Таким образом, координаты точки максимума функции y = 50/x + 2x + 6: (5, 16) и (-5, -4).

Совет: При нахождении экстремумов функций, помимо решения уравнений, полезно нарисовать график функции, чтобы визуально увидеть, как она ведет себя на интервалах до и после точек экстремума.

Задача на проверку: Найдите координаты точки минимума функции y = 3x^3 - 9x^2 + 4x + 1.