Каковы координаты точки м, представляющей комплексное число z=(5i-2)/(3i+1)+i+8i-3/2-i?

Тема занятия: Арифметика комплексных чисел

Инструкция: Чтобы найти координаты точки m, представляющей комплексное число z, нужно решить выражение z и провести необходимые арифметические операции.

Дано выражение z = (5i - 2)/(3i + 1) + i + 8i - 3/(2 - i).

Давайте сначала упростим это выражение.

Для этого приведем дроби знаменателей к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженное комплексное число:

z = [(5i - 2)(2 + i)]/[(3i + 1)(2 + i)] + i + 8i - [(3)(2 + i)]/(2 - i).

После раскрытия скобок и упрощения получим:

z = [(10i + 5 - 2i^2 - i)]/[(6i + 3 + 3i + 1)] + i + 8i - [(6 + 3i)]/(2 - i).

Далее сгруппируем как:
z = [(5 - i + 2i)]/[(4i + 4)] + 9i - [6 + 3i]/(2 - i).

Продолжим упрощение и складывать подобные слагаемые:

z = [(5 + i)]/[(4i + 4)] + 9i - [6 + 3i]/(2 - i).

Нам необходимо привести все рациональные числа к общему деноминатору:

z = [(5 + i)(2 - i)]/[(4i + 4)(2 - i)] + (9i)(2 - i) - [6 + 3i](4 + i)/(2 - i)(2 + i).

После умножения и упрощения получим:

z = [(10 - i + 2i - i^2)]/[8 - 2i + 8i - 2i^2] + (18i - 9i^2) - [(24 + 6i + 12i + 3i^2)]/[4 + 2i - 2i - i^2].

Учитывая, что i^2 = -1, мы можем упростить это выражение еще больше:

z = [(10 + i^2 + i)]/[8 - 2i + 8i + 2] + (18i - 9(-1)) - [(24 + 6i + 12i - 3)]/[4 + 2i - 2i - (-1)].

z = [(9 + i)]/[10 + 6i] + (18i + 9) - [(21 + 6i)]/[5].

Далее можно привести дроби к общему знаменателю:

z = [(9 + i)(5)]/[10 + 6i] + (18i + 9)(5) - (21 + 6i)/5.

z = (45 + 5i)/(10 + 6i) + (90i + 45) - (21 + 6i)/5.

Теперь, чтобы выполнить операцию деления комплексных чисел, умножим числитель и знаменатель дроби (45 + 5i) на комплексно-сопряженное значение знаменателя (10 - 6i):

z = [(45 + 5i)(10 - 6i) + (90i + 45)(10 + 6i) - (21 + 6i)(10 - 6i)]/[5(10 + 6i)].

После раскрытия скобок и упрощения получим:

z = [(450 - 270i + 50i - 30i^2) + (900i + 540i^2 + 450 - 270i) - (210 - 126i + 60i - 36i^2)]/[5(10 + 6i)].

Учитывая, что i^2 = -1 и упрощая, получим:

z = [(450 - 220i) + (900i - 540 + 450 - 270i) - (210 - 66i)]/[5(10 + 6i)].

z = [450 - 540 - 210 + 450 + 450 - 220i + 900i - 270i - 66i]/[5(10 + 6i)].

z = [1390 + 364i]/[5(10 + 6i)].

Нам нужно произвести операцию умножения комплексных чисел, а затем сократить дробь:

z = (1390 + 364i)/50 + (364i)/(30i + 5).

Продолжаем упрощать:

z = (1390/50) + (364/50)i + (364i)/(30i + 5).

z = 27.8 + 7.28i + (364i)/(30i + 5).

Таким образом, координаты точки m, представляющей комплексное число z, равны x = 27.8 и y = 7.28.

Пример: Дано выражение z=(5i-2)/(3i+1)+i+8i-3/2-i. Найти координаты точки м, представляющей комплексное число z.

Совет: При решении задач на комплексные числа помните, что для упрощения дробей используйте комплексно-сопряженное значение знаменателя, чтобы избавиться от комплексных чисел в знаменателе.

Задание: Найдите координаты точки n, представляющей комплексное число w=(4i-3)/(2i+1)+2i-4/(i-2)-i+9i-3/2-3/4.