Каково значение функции f(x)=x3−108x+402 в точке минимального значения (локального минимума)?

Тема: Значение функции в точке минимального значения

Объяснение:
Чтобы найти значение функции в точке минимального значения (локального минимума), нам необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найдем производную функции `f(x)`. Для этого возьмем производную каждого члена функции по отдельности и запишем результат.
`f'(x) = 3x^2 - 108`

2. Решим уравнение `f'(x) = 0`, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю. Для этого приравняем выражение `f'(x)` к нулю и решим полученное уравнение.
`3x^2 - 108 = 0`

Решив это уравнение, мы получим два значения `x`: `-6` и `6`. Эти значения - точки экстремума.

3. Чтобы определить, является ли каждая из точек экстремума локальным минимумом или максимумом, нужно проанализировать знак производной в окрестности каждой точки.
- Подставим значение `x = -6` в `f'(x)`. Получим `f'(-6) = 3(-6)^2 - 108 = 0 - 108 = -108`. Значение отрицательно, значит, точка `x = -6` является локальным максимумом.
- Подставим значение `x = 6` в `f'(x)`. Получим `f'(6) = 3(6)^2 - 108 = 108 - 108 = 0`. Значение равно нулю, значит, точка `x = 6` является локальным минимумом.

4. Найдем значение функции в точке локального минимума. Для этого подставим `x = 6` в исходную функцию `f(x)`:
`f(6) = 6^3 - 108 * 6 + 402`
`f(6) = 216 - 648 + 402`
`f(6) = -30`

Таким образом, значение функции `f(x) = x^3 - 108x + 402` в точке минимального значения (локального минимума) `x = 6` равно `-30`.

Совет: Важно понимать, что точка локального минимума является точкой, в которой функция имеет наименьшее значение в некоторой окрестности. Для нахождения таких точек, нужно анализировать производную функции.

Упражнение: Найдите значение функции в точке локального максимума для функции `f(x) = x^3 - 108x + 402`.