Каково уравнение окружности, проходящей через точки a (5; 0) и b (1; 4), если центр окружности лежит на прямой x+y-3=0?

Уравнение окружности, проходящей через точки a (5; 0) и b (1; 4), при условии, что центр окружности лежит на прямой x+y-3=0

Разъяснение:
Чтобы найти уравнение окружности, мы должны знать координаты ее центра и радиус. В данной задаче, также известны две точки, через которые проходит окружность.

Первым шагом мы найдем центр окружности, который лежит на прямой x+y-3=0. Для этого составим систему уравнений с уравнением прямой и уравнением серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющего точки a и b.

Уравнение прямой x+y-3=0 можно записать в виде y=-x+3. Чтобы найти серединный перпендикуляр, мы вычислим середину отрезка AB, где A (5;0) и B (1;4). Середина отрезка (x₀, y₀) вычисляется по формулам x₀ =(x₁+x₂)/2 и y₀=(y₁+y₂)/2.

Подставим значения координат точек A и B: x₀ = (5+1)/2 = 3, y₀=(0+4)/2 = 2. Таким образом, центр окружности имеет координаты C (3; 2).

Далее нам нужно найти радиус окружности. Радиус можно найти, используя формулу расстояния между двумя точками: r = √((x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²), где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек на окружности.

Подставив значения координат точек A и C, получим r = √((5-3)²+(0-2)²) = √(2²+(-2)²) = √(4+4) = √8 = 2√2.

Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точки a (5; 0) и b (1; 4), с центром на прямой x+y-3=0, имеет вид: (x-3)²+(y-2)² = (2√2)².

Например:
Задача: Найдите уравнение окружности, проходящей через точки A(5; 0) и B(1; 4), если центр окружности лежит на прямой x+y-3=0.

Совет:
При решении подобных задач, очень полезно использовать системы уравнений и формулы для расстояния и середины перпендикуляра. Также, рисунки и графики могут помочь визуализировать ситуацию и лучше понять геометрические свойства задачи.

Закрепляющее упражнение:
Найдите уравнение окружности, проходящей через точки A(-2; 3) и B(4; -1), при условии, что центр окружности лежит на прямой 2x - y = 5.