Каково решение уравнения sin6x + √3cos6x = -2cos8x?

Тема: Решение уравнения sin6x + √3cos6x = -2cos8x

Объяснение: Для начала, нам необходимо решить данное уравнение, чтобы найти значения переменной x, при которых оно выполняется.

1. Начнем с упрощения уравнения. Мы можем использовать формулу двойного угла sin2θ = 2sinθcosθ, чтобы представить sin6x в более простой форме. Таким образом, уравнение примет вид:

sin2(3x) + √3cos(6x) = -2cos(8x)

2. После этого применим формулу двойного угла cos2θ = cos²θ − sin²θ, чтобы представить cos(8x) в виде более простой функции cos и sin:

sin2(3x) + √3cos(6x) = -2cos²(4x) + 2sin²(4x)

3. Затем мы можем заменить sin²θ формулой 1 - cos²θ, чтобы избавиться от sin²(4x) в выражении:

sin2(3x) + √3cos(6x) = -2cos²(4x) + 2(1 - cos²(4x))

4. Теперь, объединив подобные члены и упростив выражение, мы получим:

3cos(6x) + 2cos²(4x) - 2 + 2cos²(4x) = 0

5. Уравнение стало квадратным относительно переменной cos(4x):

4cos²(4x) + 3cos(6x) - 2 = 0

6. Чтобы решить данное уравнение, мы можем использовать подстановку:

Пусть t = cos(4x), тогда получим:

4t² + 3t - 2 = 0

7. Решим полученное квадратное уравнение с использованием метода факторизации, формулы Квадратного корня или квадратного дискриминанта. Найдем значения t.

8. Когда мы найдем значения t, мы можем использовать обратную связь, чтобы найти значения cos(4x).

9. Наконец, используя полученные значения cos(4x), мы решаем уравнения cos(4x) = t, чтобы найти значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению.

Пример использования:
Решите уравнение sin6x + √3cos6x = -2cos8x.

Совет:
Вам может пригодиться знание различных тригонометрических тождеств и формул двойных углов для упрощения уравнений.

Задание для закрепления:
Решите уравнение 2sin²x - √3sinx + 1 = 0.