Какова сумма квадратов корней уравнения 3x²-21x-7=0?

Тема занятия: Квадратные уравнения

Разъяснение: Для решения данной задачи посчитаем корни уравнения 3x²-21x-7=0, а затем найдем сумму квадратов этих корней.

Для начала, воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы найти значения корней уравнения. Формула дискриминанта имеет вид D = b² - 4ac, где a, b и c соответствуют коэффициентам уравнения вида ax² + bx + c = 0.

В данном случае a = 3, b = -21 и c = -7. Подставим значения в формулу и найдем дискриминант:

D = (-21)² - 4 * 3 * (-7) = 441 + 84 = 525.

Так как дискриминант положительный (D > 0), уравнение имеет два различных вещественных корня. Чтобы найти сами корни, воспользуемся формулой x = (-b ± √D) / (2a).

x₁ = (-(-21) + √525) / (2 * 3) = (21 + √525) / 6.

x₂ = (-(-21) - √525) / (2 * 3) = (21 - √525) / 6.

Теперь найдем сумму квадратов корней:

(x₁)² + (x₂)² = ((21 + √525) / 6)² + ((21 - √525) / 6)².

Выполняя вычисления, получаем ответ:

(x₁)² + (x₂)² = (441 + 126√525 + 525) / 36 + (441 - 126√525 + 525) / 36 = (882 + 2 * 525) / 36 = 1932 / 36 = 53 1/2.

Таким образом, сумма квадратов корней уравнения 3x²-21x-7=0 равна 53 1/2.

Совет: При решении квадратных уравнений, особенно уравнений с большим количеством сложных коэффициентов, полезно использовать формулу дискриминанта и формулу для нахождения корней. Важно следить за правильным выполнением алгебраических операций при вычислениях, чтобы избежать ошибок.

Дополнительное упражнение: Найдите сумму квадратов корней для уравнения 2x² + 5x - 3 = 0.