Какова скорость катера в стоячей воде, если он проходит 48 км против течения реки и 30 км по течению за 3 часа

Задача: Какова скорость катера в стоячей воде, если он проходит 48 км против течения реки и 30 км по течению за 3 часа, при этом прохождение 15 км по течению занимает на 1 час меньше времени, чем прохождение 36 км против течения? Ответ выразите в километрах.

Решение:
Давайте обозначим скорость катера в стоячей воде как V, а скорость течения реки - S. Скорость катера против течения (V - S) и скорость катера по течению (V + S).

По условию, время, затраченное на прохождение 48 км против течения, равно:
48 / (V - S) = t1

Время, затраченное на прохождение 30 км по течению, равно:
30 / (V + S) = t2

Также, по условию, прохождение 15 км по течению занимает на 1 час меньше времени, чем прохождение 36 км против течения:
15 / (V + S) = t2 - 1
36 / (V - S) = t1 + 1

Мы имеем систему уравнений:
48 / (V - S) = t1
30 / (V + S) = t2
15 / (V + S) = t2 - 1
36 / (V - S) = t1 + 1

Сложим второе и третье уравнения, чтобы избавиться от t2 и получить выражение для V:
30 / (V + S) + 15 / (V + S) = t2 + t2 - 1
45 / (V + S) = 2t2 - 1
45 = 2t2(V + S) - (V + S)
45 = (2Vt2 + 2St2) - (V + S)

Просуммируем первое и четвертое уравнения для избавления от t1:
48 / (V - S) + 36 / (V - S) = t1 + t1 + 2
84 / (V - S) = 2t1 + 2
42 = (V - S)t1 + S

Мы получили две уравнения:
45 = (2Vt2 + 2St2) - (V + S)
42 = (V - S)t1 + S

Для решения системы уравнений приведем все выражения к общему знаменателю. Общим знаменателем является (V - S)(V + S). После выполнения всех несложных алгебраических действий и упрощений мы получим квадратное уравнение вида:

45(V^2 - S^2) = 42(V^2 - S^2) - 3VS

Раскроем скобки и упростим:

45V^2 - 45S^2 = 42V^2 - 42S^2 - 3VS

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

3V^2 - 3S^2 - 3VS = 0

Факторизуем левую часть:

3(V - S)(V + S) - 3VS = 0

Раскроем скобки:

3V^2 - 3S^2 - 3VS + 3VS = 0

Упростим:

3V^2 - 3S^2 = 0

Поделим обе части на 3:

V^2 - S^2 = 0

Факторизуем полученное квадратное уравнение:

(V - S)(V + S) = 0

Таким образом, мы получили два возможных значения скорости катера: V = S и V = -S. Отрицательное значение скорости не имеет физического смысла, поэтому можем отбросить этот вариант. В результате получаем, что скорость катера в стоячей воде равна скорости течения реки.

Ответ: Скорость катера в стоячей воде равна скорости течения реки.