Какова первообразная F(x) для функции f(x) = sin3x, если F(пи)=2?

Тема урока: Первообразная для функции sin^3(x)

Пояснение:
Чтобы найти первообразную для функции f(x) = sin^3(x), мы можем использовать метод интегрирования по частям или метод подстановки. В данном случае мы воспользуемся методом подстановки.

Итак, начнем с подстановки u = sin(x), тогда дифференцируя обе части по x, получим du = cos(x)dx.

Теперь мы можем выразить dx через du и переписать исходную функцию в новых переменных: f(x) = sin^3(x) = (sin^2(x)) * sin(x) = (1 - cos^2(x)) * sin(x) = (1 - u^2) * du.

Заметим, что полученное выражение (1 - u^2) * du является производной от какой-то другой функции, так как оно соответствует структуре производной функции (f"(x)dx). Мы хотим найти первообразную, поэтому интегрируем полученное выражение:

∫ (1 - u^2) du = ∫du - ∫u^2 du = u - (1/3)u^3 + C,

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная F(x) для функции f(x) = sin^3(x) равна F(x) = sin(x) - (1/3)sin^3(x) + C.

Доп. материал: Найдите первообразную функции f(x) = sin^3(x).
Решение: Первообразная функции f(x) = sin^3(x) равна F(x) = sin(x) - (1/3)sin^3(x) + C, где C - постоянная интегрирования.

Совет: Для лучшего понимания процесса подстановки и интегрирования полезно повторить правила интегрирования и основные тригонометрические тождества.

Дополнительное задание: Найдите первообразную функции f(x) = cos^2(x).