Какова масса участка стержня между х1=1 и х2=2, при условии, что его плотность изменяется в соответствии с формулой

Название: Масса участка стержня с изменяющейся плотностью

Пояснение: Чтобы определить массу участка стержня между точками х1 и х2 с изменяющейся плотностью, мы будем использовать интеграл. Сначала нам нужно определить функцию массы, которая является интегралом от произведения плотности и длины элемента стержня. В данном случае, длина элемента стержня равна dx, а плотность изменяется в соответствии с формулой p(х) = 4x^2 + 5x + 2.

Таким образом, функция массы M(x) определяется как интеграл от произведения плотности и длины элемента стержня:
M(x) = ∫[х1,х2] p(х) dx

Для данной задачи, х1 = 1 и х2 = 2, и плотность задана формулой p(х) = 4x^2 + 5x + 2. Подставим эти значения в интеграл и решим его:

M(x) = ∫[1,2] (4x^2 + 5x + 2) dx

Вычислим интеграл:
M(x) = [4/3 * x^3 + 5/2 * x^2 + 2x] [1,2]

Выполним подстановку верхнего и нижнего пределов интегрирования:
M(x) = (4/3 * 2^3 + 5/2 * 2^2 + 2 * 2) - (4/3 * 1^3 + 5/2 * 1^2 + 2 * 1)

Вычислим значения:
M(x) = (32/3 + 20/2 + 4) - (4/3 + 5/2 + 2) = 32/3 + 10 + 4 - 4/3 - 5/2 - 2

Упростим выражение:
M(x) = 32/3 + 30/6 + 24/6 - 4/3 - 15/6 - 12/6
M(x) = (32 + 30 + 24 - 8 - 15 - 12) / 6
M(x) = 41 / 6

Таким образом, масса участка стержня между х1 = 1 и х2 = 2 составляет 41/6.

Совет: Чтобы лучше понять эту концепцию, рекомендуется внимательно изучить процесс интегрирования и понимание изменения плотности в течение стержня. Также полезно прорешать другие задачи с изменяющейся плотностью.

Дополнительное задание: Найдите массу участка стержня между х1 = 2 и х2 = 5, если плотность задана формулой p(х) = 2x^2 + 4x + 1.