Какова альтернативная формулировка для выражения Tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = 8cos20/√3

Тема: Тригонометрические функции

Инструкция: Дано выражение `Tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = 8cos20/√3`. Для нахождения альтернативной формулировки нам необходимо использовать свойства тригонометрических функций и тригонометрические равенства.

Используя тригонометрическое тождество `tg(A) + tg(B) = sin(A + B) / (cos(A) * cos(B))`, мы можем переписать выражение в следующем виде:

`Tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = sin(30 + 40) / (cos(30) * cos(40)) + sin(50 + 60) / (cos(50) * cos(60))`

`Tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = sin(70) / (cos(30) * cos(40)) + sin(110) / (cos(50) * cos(60))`

Затем мы можем использовать тригонометрическое тождество `sin(A) = 2 * sin(A/2) * cos(A/2)`:

`Tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = 2 * sin(70/2) * cos(70/2) / (cos(30) * cos(40)) + 2 * sin(110/2) * cos(110/2) / (cos(50) * cos(60))`

Используя значения `sin(35) = √((1 - cos(70)) / 2)`, `sin(55) = √((1 - cos(110)) / 2)`, `cos(35) = √((1 + cos(70)) / 2)`, `cos(55) = √((1 + cos(110)) / 2)`, `cos(70) = sin(20)`, `cos(110) = -sin(80)`, `cos(30) = √3/2`, `cos(40) = √((1 + cos(80)) / 2)`, `cos(50) = √((1 + cos(100)) / 2)`, `cos(60) = √3/2`, мы можем дальше упростить выражение:

`Tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = 2 * sin(35) * cos(35) / (√3/2 * √((1 + cos(80)) / 2)) + 2 * sin(55) * (-sin(80)) / ( √((1 + cos(100)) / 2) * √3/2)`

`Tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = 2 * sin(35) * cos(35) / (√3/2 * √((1 + cos(80)) / 2)) - 2 * sin(55) * sin(80) / ( √((1 + cos(100)) / 2) * √3/2)`

Используя значения `sin(35) * cos(35) = sin(2 * 35) / 2`, `sin(55) * sin(80) = sin(2 * 55) / 2` и `√((1 + cos(80)) / 2) = cos(40)`, `√((1 + cos(100)) / 2) = cos(50)`, мы можем окончательно выразить альтернативную формулировку:

`Tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = sin(70) / cos(30) + sin(110) / cos(50) = cos(20) * cos(40) + sin(50) * sin(60) = 8cos20/√3`

Совет: Для более лёгкого понимания материала можно изучить основные тригонометрические тождества и формулы, а также свойства тригонометрических функций. Также помните, что практика - это ключ к успеху в понимании темы.

Задание для закрепления: Найдите альтернативную формулировку для выражения `sin(15) + cos(15) = √((2 + √3) / 4)` с использованием тригонометрических тождеств.