Какое значение параметра делает неравенство ax^2 – 2(a – 1)x + a + 3 ≥ 0 верным для всех значений x на числовой прямой?

Суть вопроса: Квадратные неравенства

Разъяснение: Для решения этой задачи нам требуется найти значение параметра a, которое делает неравенство ax^2 – 2(a – 1)x + a + 3 ≥ 0 верным для всех значений x на числовой прямой. Чтобы понять, при каких значениях a неравенство будет выполняться, нужно применить некоторые свойства и методы работы с квадратными неравенствами.

1. Приведем исходное неравенство к стандартному виду квадратного трехчлена: ax^2 – 2ax + 2x + a + 3 ≥ 0. Здесь мы просто раскрываем скобки.

2. Объединим подобные слагаемые: ax^2 – (2a - 2)x + (a + 3) ≥ 0. В этот момент обратим внимание на коэффициент перед x: он равен 2a - 2.

3. Чтобы неравенство выполнялось для всех значений x на числовой прямой, трехчлен должен быть положительным, но не равным нулю. Поэтому нам требуется найти значения параметра a, при которых коэффициент перед x будет положительным.

4. Решим неравенство 2a - 2 > 0. Прибавив к обоим частям уравнения 2, получим 2a > 2, и, деля обе части на 2, a > 1.

Таким образом, значение параметра a должно быть больше 1, чтобы неравенство было верно для всех значений x.

Минимальное значение параметра a: Минимальное значение параметра a является граничным значением, при котором неравенство будет выполняться для всех значений x. В данном случае, минимальное значение для a равно 1.

Закрепляющее упражнение: Найдите значение параметра a, при котором неравенство x^2 + (a-3)x - 10 > 0 выполняется для всех значений x на числовой прямой.