Какое утверждение о функции является верным: функция ограничена сверху, функция ограничена снизу или функция ограничена

Функция ограничена сверху означает, что существует некоторое число, которое является верхней границей для значения функции на всей ее области определения. Другими словами, функция не достигает значений, превышающих указанное число. Например, если мы рассматриваем функцию f(x) = x^2 и говорим, что она ограничена сверху, то это означает, что для всех значений x, f(x) не превышает некоторого числа.

Функция ограничена снизу означает, что существует некоторое число, которое является нижней границей для значения функции на всей ее области определения. Другими словами, функция не достигает значений, меньших указанного числа. Например, если мы рассматриваем функцию g(x) = -sin(x) и говорим, что она ограничена снизу, то это означает, что для всех значений x, g(x) не меньше некоторого числа.

Функция ограничена везде, или просто ограничена, означает, что функция одновременно ограничена сверху и ограничена снизу, т.е. существуют и верхняя, и нижняя границы для значений функции на всей ее области определения. Например, функция h(x) = 1/x ограничена, так как ее значения на всей области определения находятся между двумя числами.

Демонстрация: Рассмотрим функцию f(x) = x^3 - 2x + 1. Для этой функции можно сказать, что она ограничена сверху, так как существует число M, например 10, такое что для всех значений x функция f(x) не превышает 10. Также можно сказать, что функция ограничена снизу, так как существует число N, например -10, такое что для всех значений x функция f(x) не меньше -10. Следовательно, данная функция ограничена везде.

Совет: Чтобы определить, ограничена ли функция сверху или снизу, можно анализировать ее график, находить крайние точки и анализировать их значения. Если для всех точек графика можно найти верхнюю или нижнюю границу, то соответствующее утверждение о функции будет верным.

Задание: Рассмотрим функцию f(x) = sin(x). Определите, является ли она ограниченной сверху или снизу или ограниченной везде?