Какое уравнение можно составить для касательной и нормали к кривой y=x^3-4x^2+8x+6 в заданной точке?

Тема: Уравнение касательной и нормали к кривой

Описание: Для того чтобы найти уравнение касательной и нормали к данной кривой в заданной точке, мы должны использовать понятие производной.

Производная функции позволяет нам найти угловой коэффициент касательной и нормали в произвольной точке кривой. В заданной точке (a, f(a)), где a - это x-координата, а f(a) - соответствующая y-координата, угловой коэффициент касательной будет равен производной функции f(x) по x, вычисленной при x = a.

Для нахождения касательной мы должны найти производную функции f(x) и подставить значение a в полученное выражение. Уравнение касательной имеет вид y - f(a) = f"(a)(x - a).

Нормаль представляет собой прямую, перпендикулярную касательной, и ее угловой коэффициент равен -1/ f"(a). Уравнение нормали имеет вид y-f(a) = (-1/f"(a))(x - a).

Демонстрация: Дано уравнение кривой y = x^3 - 4x^2 + 8x + 6. Найдите уравнение касательной и нормали к кривой в точке (-1, 19).

Решение: Сначала найдем производную функции f(x):
f"(x) = 3x^2 - 8x + 8.

Для нахождения уравнения касательной:
Подставляем x = -1 в f"(x):
f"(-1) = 3(-1)^2 - 8(-1) + 8 = 3 + 8 + 8 = 19.

Теперь у нас есть угловой коэффициент для касательной.

Окончательное уравнение касательной:
y - f(-1) = f"(-1)(x - (-1))
y - 19 = 19(x + 1).

Для нахождения уравнения нормали:
Угловой коэффициент нормали равен -1/f"(-1):
m = -1 / 19.

Окончательное уравнение нормали:
y - f(-1) = (-1 / 19)(x - (-1))
y - 19 = (-1/19)(x + 1).

Совет: Чтобы лучше понять процесс нахождения уравнений касательной и нормали, рекомендуется изучить основы дифференциального исчисления и понимание производной функции.

Проверочное упражнение: Найдите уравнение касательной и нормали к кривой y = 2x^2 - 3x + 5 в точке (2, 9).