Докажите следующее равенство: sin^4(a) + cos^4(a) - sin^6(a) - cos^6(a) = sin^2(a) * cos^2(a

Название: Доказательство равенства sin^4(a) + cos^4(a) - sin^6(a) - cos^6(a) = sin^2(a) * cos^2(a)

Пояснение: Для доказательства данного равенства, мы будем использовать тождество для синуса и косинуса в форме sin^2(a) + cos^2(a) = 1.

Начнем с левой части равенства:
sin^4(a) + cos^4(a) - sin^6(a) - cos^6(a)

Мы можем заменить sin^2(a) и cos^2(a) в этом выражении, используя наше тождество. Также нам известно, что (x^2)^3 = x^6 (в данном случае x может быть как sin(a), так и cos(a)).

Теперь давайте преобразуем выражение:
(sin^2(a))^2 + (cos^2(a))^2 - (sin^2(a))^3 - (cos^2(a))^3

Заменим (sin^2(a))^2 на sin^4(a) и (cos^2(a))^2 на cos^4(a):
sin^4(a) + cos^4(a) - (sin^2(a))^3 - (cos^2(a))^3

Еще раз используем наше тождество для замены (sin^2(a))^3 и (cos^2(a))^3 на sin^6(a) и cos^6(a):
sin^4(a) + cos^4(a) - sin^6(a) - cos^6(a)

Таким образом, мы доказали, что левая часть равенства равна sin^4(a) + cos^4(a) - sin^6(a) - cos^6(a).

Теперь рассмотрим правую часть равенства:
sin^2(a) * cos^2(a)

Мы можем выразить sin^2(a) в терминах cos^2(a), используя наше тождество (sin^2(a) + cos^2(a) = 1):
1 - cos^2(a) * cos^2(a)

Заменим cos^2(a) * cos^2(a) на (cos^2(a))^2:
1 - (cos^2(a))^2

Снова заменим (cos^2(a))^2 на cos^4(a):
1 - cos^4(a)

Таким образом, мы доказали, что правая часть равенства равна 1 - cos^4(a).

Так как левая часть равна "sin^4(a) + cos^4(a) - sin^6(a) - cos^6(a)" и правая часть равна "1 - cos^4(a)", мы доказали исходное равенство: sin^4(a) + cos^4(a) - sin^6(a) - cos^6(a) = sin^2(a) * cos^2(a).

Пример:
Задача: Докажите следующее равенство: sin^4(a) + cos^4(a) - sin^6(a) - cos^6(a) = sin^2(a) * cos^2(a)

Совет: Для более глубокого понимания темы, рекомендуется тренироваться с подобными задачами и использовать основные тригонометрические тождества.

Ещё задача: Докажите равенство: (1 + tan^2(a))(1 - sin(a)) = cos(a)