Какое уравнение будет являться касательной к графику функции f(x)=x^3+3x^2+x+7 и параллельной прямой y=-2x+1?

Суть вопроса: Уравнение касательной и параллельной прямой

Разъяснение: Для того, чтобы найти уравнение касательной, которая также параллельна данной прямой, мы должны знать, что производная функции в точке касания будет равна коэффициенту наклона данной прямой.

Производная функции f(x)=x^3+3x^2+x+7 равна f"(x) = 3x^2+6x+1.

Коэффициент наклона прямой y=-2x+1 равен -2, что означает, что коэффициент наклона касательной также будет равен -2.

Таким образом, уравнение касательной будет иметь вид y = -2x + b. Нам нужно найти значение b.

Для этого подставим координаты точки касания x и y в уравнение касательной и в уравнение функции f(x). В данном случае мы знаем, что точка касания находится на графике функции f(x).

Приравняем уравнения y = f(x) и y = -2x + b и подставим x= a, y= f(a), и b= f(a) + 2a.

После подстановки получим уравнение касательной, проходящей через точку (a, f(a)). Выглядит оно так: y = -2x + f(a) + 2a.

Дополнительный материал: Найдем уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3+3x^2+x+7, параллельной прямой y=-2x+1 в точке x=2.

Для этого:

1. Найдем производную функции f"(x)=3x^2+6x+1.
2. Зная, что коэффициент наклона касательной равен -2, записываем уравнение касательной y=-2x+b.
3. Подставляем x=2 в уравнение функции и находим y: f(2)=2^3+3*2^2+2+7=27.
4. Подставляем значения координат точки (2,27) в уравнение касательной: 27=-2*2+b, откуда b=31.
5. Получаем уравнение касательной y=-2x+31.

Совет: Чтобы лучше понять эту задачу, важно знать, что производная функции в точке касания определяет коэффициент наклона касательной. Используйте шаги, описанные выше, чтобы найти уравнение касательной к графику функции, параллельной данной прямой.

Закрепляющее упражнение: Найдите уравнение касательной к графику функции f(x)=2x^2+x-3, параллельной прямой y=4x-5 в точке x=-1.