Название: Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка
Пояснение:
Для нахождения общего решения данного линейного дифференциального уравнения второго порядка Y" - 9y = e^2x, мы должны использовать метод вариации постоянной.
Шаг 1: Найдите общее решение соответствующего однородного уравнения Y" - 9y = 0. Для этого мы предполагаем, что общее решение однородного уравнения Y" - 9y = 0 имеет вид Y_h(x) = e^(kx), где k - некоторая константа. Подставив это решение в уравнение, мы получаем характеристическое уравнение k^2 - 9 = 0, которое имеет два корня: k1 = 3 и k2 = -3. Тогда общее решение однородного уравнения может быть записано как Y_h(x) = C1e^(3x) + C2e^(-3x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Шаг 2: Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Обратите внимание, что правая часть e^2x не совпадает ни с одним из членов общего решения однородного уравнения. Поэтому предполагаем, что частное решение имеет вид Y_p(x) = A * e^2x, где A - некоторая константа. Подставив это решение в уравнение, мы получаем A = 1/5.
Шаг 3: Итак, общее решение неоднородного уравнения Y" - 9y = e^2x может быть записано как Y(x) = Y_h(x) + Y_p(x) = C1e^(3x) + C2e^(-3x) + (1/5)e^2x, где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Доп. материал:
Найти общее решение уравнения Y" - 9y = e^2x.
Совет:
Для более глубокого понимания решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, рекомендуется изучать метод вариации постоянной и характеристическое уравнение.
Задание для закрепления:
Найдите общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка: Y" + 4Y" + 4Y = 3x^2 + 2.
Расскажи ответ другу:
Заяц
51
Показать ответ
Название: Решение дифференциального уравнения Y" - 9y = e^2x
Объяснение: Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод вариации постоянных. Прежде чем начать, давайте представим общее решение в следующем виде: y = c1*y1 + c2*y2, где y1 и y2 - две линейно независимые функции, а c1 и c2 - произвольные постоянные.
Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение, для этого заменим Y на m в исходном дифференциальном уравнении и решим уравнение m^2 - 9 = 0. Получаем корни m1 = 3 и m2 = -3.
Шаг 2: Найдем соответствующие функции y1 и y2, используя найденные корни. Для m = 3, решим Y" - 9Y = 0 и получим y1 = e^3x. Аналогично, для m = -3, получаем y2 = e^(-3x).
Шаг 3: Подставляем полученные функции y1 и y2 в общее решение и получаем y = c1*e^3x + c2*e^(-3x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.
Дополнительный материал: Найдем общее решение уравнения Y" - 9y = e^2x.
Шаг 1: Характеристическое уравнение m^2 - 9 = 0 имеет корни m1 = 3 и m2 = -3.
Шаг 2: Соответствующие функции y1 и y2: y1 = e^3x и y2 = e^(-3x).
Шаг 3: Общее решение уравнения Y" - 9y = e^2x: y = c1*e^3x + c2*e^(-3x).
Совет: Для лучшего понимания данной темы, рекомендуется изучить метод вариации постоянных и характеристическое уравнение для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Практика: Найдите общее решение уравнения Y" + 4Y" + 4Y = e^(-2x).
Все ответы даются под вымышленными псевдонимами! Здесь вы встретите мудрых наставников, скрывающихся за загадочными никами, чтобы фокус был на знаниях, а не на лицах. Давайте вместе раскроем тайны обучения и поищем ответы на ваши школьные загадки.
Пояснение:
Для нахождения общего решения данного линейного дифференциального уравнения второго порядка Y" - 9y = e^2x, мы должны использовать метод вариации постоянной.
Шаг 1: Найдите общее решение соответствующего однородного уравнения Y" - 9y = 0. Для этого мы предполагаем, что общее решение однородного уравнения Y" - 9y = 0 имеет вид Y_h(x) = e^(kx), где k - некоторая константа. Подставив это решение в уравнение, мы получаем характеристическое уравнение k^2 - 9 = 0, которое имеет два корня: k1 = 3 и k2 = -3. Тогда общее решение однородного уравнения может быть записано как Y_h(x) = C1e^(3x) + C2e^(-3x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Шаг 2: Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Обратите внимание, что правая часть e^2x не совпадает ни с одним из членов общего решения однородного уравнения. Поэтому предполагаем, что частное решение имеет вид Y_p(x) = A * e^2x, где A - некоторая константа. Подставив это решение в уравнение, мы получаем A = 1/5.
Шаг 3: Итак, общее решение неоднородного уравнения Y" - 9y = e^2x может быть записано как Y(x) = Y_h(x) + Y_p(x) = C1e^(3x) + C2e^(-3x) + (1/5)e^2x, где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Доп. материал:
Найти общее решение уравнения Y" - 9y = e^2x.
Совет:
Для более глубокого понимания решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, рекомендуется изучать метод вариации постоянной и характеристическое уравнение.
Задание для закрепления:
Найдите общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка: Y" + 4Y" + 4Y = 3x^2 + 2.
Объяснение: Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод вариации постоянных. Прежде чем начать, давайте представим общее решение в следующем виде: y = c1*y1 + c2*y2, где y1 и y2 - две линейно независимые функции, а c1 и c2 - произвольные постоянные.
Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение, для этого заменим Y на m в исходном дифференциальном уравнении и решим уравнение m^2 - 9 = 0. Получаем корни m1 = 3 и m2 = -3.
Шаг 2: Найдем соответствующие функции y1 и y2, используя найденные корни. Для m = 3, решим Y" - 9Y = 0 и получим y1 = e^3x. Аналогично, для m = -3, получаем y2 = e^(-3x).
Шаг 3: Подставляем полученные функции y1 и y2 в общее решение и получаем y = c1*e^3x + c2*e^(-3x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.
Дополнительный материал: Найдем общее решение уравнения Y" - 9y = e^2x.
Шаг 1: Характеристическое уравнение m^2 - 9 = 0 имеет корни m1 = 3 и m2 = -3.
Шаг 2: Соответствующие функции y1 и y2: y1 = e^3x и y2 = e^(-3x).
Шаг 3: Общее решение уравнения Y" - 9y = e^2x: y = c1*e^3x + c2*e^(-3x).
Совет: Для лучшего понимания данной темы, рекомендуется изучить метод вариации постоянных и характеристическое уравнение для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Практика: Найдите общее решение уравнения Y" + 4Y" + 4Y = e^(-2x).