Какое наибольшее значение имеет функция y=12x^{2} -x^{3}+3 на интервале [-5;6]?

Тема занятия: Максимальное значение функции

Пояснение: Для того чтобы найти наибольшее значение функции y=12x^{2} -x^{3}+3 на интервале [-5;6], нам необходимо найти точку, где функция достигает своего максимума. Для этого мы можем использовать процесс дифференцирования.

1. Сначала возьмем производную нашей функции y"=24x-3x^{2}. Для этого мы берем каждый член нашей исходной функции и умножаем его на показатель степени, а затем уменьшаем показатель степени на единицу.
2. Поставим производную равной нулю и решим уравнение 24x-3x^{2}=0, чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю.
3. Решив это уравнение, мы получим два значения решений: x=0 и x=8/3. Эти значения представляют потенциальные точки максимума нашей функции.

Чтобы убедиться, что эти точки действительно представляют максимум функции, нам нужно найти вторую производную y"" и проверить ее значение в этих точках. Если y""<0, то это означает, что эти точки являются точками максимума.

4. Возьмем вторую производную y""=24-6x и подставим значения x=0 и x=8/3. Получим y""=24 и y""=-4 соответственно. Таким образом, мы видим, что y""<0 только при x=8/3.

Значит, точка x=8/3 является точкой максимума функции. Для определения соответствующего значения y, подставим x=8/3 в исходную функцию.

5. Получим y=12*(8/3)^{2} -(8/3)^{3}+3. После вычислений, получаем y=60.

Таким образом, наибольшее значение функции y=12x^{2} -x^{3}+3 на интервале [-5;6] равно 60.

Совет: При решении подобных задач, важно помнить, что максимальное значение функции может быть достигнуто в точке, где производная обращается в ноль. Проверка второй производной позволяет убедиться, что найденная точка действительно является точкой максимума, а не точкой минимума или точкой перегиба.

Задание: Найдите наибольшее значение функции y=3x^{2} -2x+4 на интервале [-3;4].