Какими размерами должен быть закрытый цилиндрический бак с объемом 137,842π, чтобы использовать минимальное количество

Тема урока: Оптимизация объема цилиндрического бака

Разъяснение:
Чтобы решить эту задачу, мы должны найти размеры цилиндрического бака так, чтобы его объем был равен 137,842π, а использование материала было минимальным.
Объем цилиндра можно вычислить по формуле V = π*r^2*h, где V - объем, r - радиус основания бака, h - высота бака.
Мы хотим использовать минимальное количество материала, значит мы должны минимизировать площадь боковой поверхности бака.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле S = 2π*r*h.

Мы можем записать уравнение для объема, заменив V на 137,842π:
137,842π = π*r^2*h

Мы хотим минимизировать площадь боковой поверхности, поэтому рассмотрим следующую формулу:
S = 2π*r*h = 2π*r*(137,842π/(π*r^2)) = 275,684*h/r

Теперь мы имеем только одну переменную h, выраженную через r. Мы можем найти минимум площади, взяв производную и приравняв ее к нулю:
dS/dr = -275,684*h/r^2 = 0

Решая это уравнение, мы получим h = r/2.

Таким образом, чтобы использовать минимальное количество материала, высота бака должна быть равна половине его радиуса.

Доп. материал:
Задача: Найдите размеры цилиндрического бака с минимальным использованием материала, если его объем равен 137,842π.

Решение:
Используем формулу объема цилиндра: 137,842π = π*r^2*h
Заменим h на r/2: 137,842π = π*r^2*(r/2)
Решим уравнение для r: 137,842π = (π/2)*r^3
r^3 = (137,842π*2)/π
r^3 = 275,684
r ≈ 6.37
Таким образом, радиус бака составляет около 6.37 единиц.

Высота бака будет равна половине радиуса: h = 6.37/2 ≈ 3.19
Итак, размеры цилиндрического бака для минимального использования материала: радиус ≈ 6.37, высота ≈ 3.19.

Совет:
Если вам дана задача на оптимизацию, всегда осознайте, что вы стремитесь минимизировать или максимизировать. Также убедитесь, что вы используете правильные формулы для объема и площади, связанные с данным объектом или фигурой.

Задание для закрепления
Найдите размеры цилиндрического бака с минимальным использованием материала, если его объем равен 283,169π.