Какие значения x соответствуют точкам на графике функции у = f(x), в которых касательная параллельна прямой у

Тема вопроса: Значения x, соответствующие точкам на графике функции у = f(x), где касательная параллельна прямой у = kx

Разъяснение: Для определения значений x, которые соответствуют точкам на графике функции y = f(x), в которых касательная параллельна прямой y = kx, где f(x) = x(x+1) и k = 3, мы должны использовать два условия.

1. Касательная параллельна прямой y = kx, поэтому угловой коэффициент производной функции f(x) должен быть равен k. Мы можем найти производную функции f(x) путем применения правила дифференцирования к каждому члену функции и затем соединить их.

f(x) = x(x+1)

Применяя правило дифференцирования, мы получаем производную:

f"(x) = 1*(x+1) + x*1
= x + 1 + x
= 2x + 1

2. Второе условие заключается в том, что касательная должна быть параллельна прямой y = kx. То есть, угловой коэффициент касательной должен быть равен k.

Таким образом, мы можем записать уравнение касательной:

y = kx + c

Коэффициент k = 3, поэтому уравнение касательной принимает вид:

y = 3x + c

Теперь нам нужно найти значение c, используя условие, что касательная проходит через точку (x, f(x)). Подставим координаты этой точки в уравнение касательной:

f(x) = 3x + c

Так как функция f(x) = x(x+1), подставим ее вместо f(x):

x(x+1) = 3x + c

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

x^2 + x = 3x + c

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной:

x^2 + x - 3x = c

x^2 - 2x = c

Таким образом, значения x, при которых касательная параллельна прямой y = 3x, соответствуют точкам на графике функции f(x) = x(x+1), где x^2 - 2x = c.

Демонстрация: Найдите значения x, при которых касательная к графику функции f(x) = x(x+1) параллельна прямой y = 3x.

Совет: При решении подобных задач, важно правильно определить уравнение касательной и использовать условие, что касательная должна быть параллельна заданной прямой.

Ещё задача: Найдите значения x, при которых касательная к графику функции h(x) = 2x(x-3) параллельна прямой y = 5x.