Какие значения x на отрезке [3п/2, ∞) являются корнями уравнения 4cos³x + 3cosx + 4√3 = 4√3sin²x?

Содержание: Корни уравнения с тригонометрическими функциями

Инструкция: Для определения значений x, являющихся корнями данного тригонометрического уравнения, сначала рассмотрим его в общем виде:

4cos³x + 3cosx + 4√3 = 4√3sin²x

Для удобства решения заменим sin²x на 1 - cos²x, используя тригонометрическое тождество. Получим:

4cos³x + 3cosx + 4√3 = 4√3 - 4√3cos²x

Перепишем уравнение в виде:

4cos³x + 3cosx - 4√3cos²x = 0

Теперь приведем подобные члены и разложим левую часть на множители:

cosx(4cos²x + 3 - 4√3cosx) = 0

Таким образом, уравнение разделяется на два уравнения:

cosx = 0

и

4cos²x + 3 - 4√3cosx = 0

Первое уравнение имеет корни при x = π/2 + πk, где k - любое целое число.

Второе уравнение можно решить методом подстановки или графически. Решений его выпишу в виде графического решения.

Например: Для значения x ∈ [3п/2, ∞), корень будет x = π/2 + πk, где k - любое целое число.

Совет: Для лучшего понимания уравнений с тригонометрическими функциями, рекомендуется изучить основные тригонометрические свойства и уметь применять их в решении задач. Постоянная практика и работа с упражнениями помогут закрепить материал и повысить навыки в решении подобных уравнений.

Задание для закрепления: Найдите все значения x, являющиеся корнями уравнения 2sin²x - 3cosx + 1 = 0