Какие значения х удовлетворяют условию, при котором расстояние между точками графиков функций [tex]5^{x+2} +10*5^{x

Предмет вопроса: Решение уравнений

Описание: Для нахождения значений x, удовлетворяющих условию, вначале нужно решить каждое уравнение, чтобы определить точки пересечения графиков функций. Затем вычислить расстояние между этими точками с использованием формулы для расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Так как нам нужно найти наименьшее расстояние, нужно найти точки, которые дают наименьшее значение расстояния.

Давайте решим каждое уравнение по очереди:

Уравнение 5^(x+2) +10*5^x = 7:

1. Приведем слагаемые к общей степени: 5^(x+2) + 5^(x+1) = 7.
2. Сократим общий множитель 5^(x+1): 5^(x+1) * (5 + 1) = 7.
3. Упростим уравнение: 6 * 5^(x+1) = 7.
4. Разделим обе стороны на 6: 5^(x+1) = 7/6.
5. Применим логарифмы к обеим сторонам уравнения: log(5^(x+1)) = log(7/6).
6. Применим свойство логарифма: (x+1) * log(5) = log(7/6).
7. Разделим обе стороны на log(5): x+1 = log(7/6) / log(5).
8. Вычтем 1 из обеих сторон: x = log(7/6) / log(5) - 1.

Теперь решим второе уравнение:

Уравнение 2^(2x+3) - 2^(x+1) - 2^0 = 0:

1. Сократим 2^0 до 1: 2^(2x+3) - 2^(x+1) - 1 = 0.
2. Обозначим 2^x как а: a^2 * 2^3 - a * 2 - 1 = 0.
3. Упростим уравнение: 8a^2 - 2a - 1 = 0.
4. Решим квадратное уравнение: используем дискриминант и формулу квадратного корня для нахождения a: a = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4 * 8 * (-1))) / (2 * 8).
5. Упростим выражение: a = (2 ± √(4 + 32)) / 16.
6. Вычислим значения a: a1 = (2 + √36) / 16 и a2 = (2 - √36) / 16.

Теперь вычислим расстояние между точками (x1, y1) и (x2, y2) с использованием формулы:

Расстояние = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

Используя полученные значения x1, x2, y1 и y2, можно найти наименьшее расстояние между графиками функций.

Например: Найдите значения x, удовлетворяющие условию, при котором расстояние между точками графиков функций 5^(x+2) +10*5^x = 7 и 2^(2x+3) -2^(x+1) - 2^(0) = 0 является наименьшим.

Совет: Решая квадратное уравнение, вы можете использовать дискриминант, чтобы определить, существуют ли вещественные корни, и какие именно. Используйте логарифмы для решения уравнений, содержащих экспоненты.

Проверочное упражнение: Найдите значения x, при которых расстояние между графиками функций 3^(x+2) +8*3^x = 5 и 2^(3x+1) - 2^(x+1) + 2 = 0 является наименьшим.