1) Какое значение имеет производная функции f(x)=log0.5(2+x) в точке x=1 при сравнении с нулём? 2) В чем состоит

Тема урока: Производные функций

Инструкция: Производная функции показывает, как быстро меняется значение функции в каждой точке. Для нахождения производной сложной функции, такой как логарифм или степенная функция, используются соответствующие правила.

1) Для функции f(x) = log0.5(2 + x) найдем ее производную. Начнем с обозначения y = f(x). Затем возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

ln(y) = ln(log0.5(2 + x)).

Теперь применим правило дифференцирования для функции ln:

1/y * dy/dx = 1/ln(0.5(2 + x)) * d/dx(log0.5(2 + x)).

Дифференцируя правую часть уравнения, получим:

1/y * dy/dx = 1/ln(0.5(2 + x)) * 1/(0.5(2 + x)) * 0.5.

Раскроем скобки и упростим выражение:

1/y * dy/dx = 2/(2 + x) * 0.5.

Теперь умножим обе части уравнения на y:

dy/dx = 0.5 * y * 2/(2 + x).

Подставим исходную функцию f(x) = log0.5(2 + x) в полученное выражение:

dy/dx = 0.5 * log0.5(2 + x) * 2/(2 + x).

Теперь найдем значение производной в точке x = 1:

dy/dx|_(x=1) = 0.5 * log0.5(2 + 1) * 2/(2 + 1).

Вычислив это выражение, получим значение производной в точке x = 1.

2) Для функции f(x) = 0.2^(x-3) найдем ее производную. Применим правило дифференцирования для степенной функции:

dy/dx = ln(0.2) * (x-3) * 0.2^(x-3).

Теперь найдем значение производной в точке x = 4:

dy/dx|_(x=4) = ln(0.2) * (4-3) * 0.2^(4-3).

Вычислив это выражение, получим значение производной в точке x = 4.

Совет: Для более легкого понимания производных функций и их значений в определенных точках, рекомендуется изучить основные правила дифференцирования и научиться применять их на различных примерах.

Практика: Найдите производную функции g(x) = e^x в точке x = 2.