Какие уравнения задают плоскость, которая проходит через точку А и перпендикулярна вектору ВС, где А(-4; 2; -1

Тема занятия: Уравнение плоскости

Инструкция:
Уравнение плоскости можно задать с помощью точки, через которую она проходит, и нормального вектора к этой плоскости. В данной задаче вам нужно найти уравнение плоскости, которая проходит через точку А и перпендикулярна вектору ВС.

Для начала найдем нормальный вектор к плоскости, для этого возьмем векторное произведение векторов АВ и АС. Формула для векторного произведения: AB x AC = (x1, y1, z1) x (x2, y2, z2) = (y1*z2 - y2*z1, z1*x2 - z2*x1, x1*y2 - x2*y1).

Вектор АВ = (1 - (-4), 2 - 2, -1 - (-1)) = (5, 0, 0)
Вектор АС = (-2 - (-4), 2 - 2, -1 - (-1)) = (2, 0, 0)

Вычисляем векторное произведение: (5, 0, 0) x (2, 0, 0) = (0, 0, 10)

Теперь у нас есть нормальный вектор N(0, 0, 10) к плоскости.
Так как плоскость перпендикулярна вектору ВС, то вектор ВС должен быть параллельнй плоскости. Поэтому нормальный вектор и вектор ВС должны быть ортогональными. Произведение скалярных произведений этих векторов должно быть равно 0:

N · ВС = 0
(0, 0, 10) · (1, 2, -1) = 0
0 + 0 + 10*(-1) = 0
-10 = 0

Уравнение плоскости: 0x + 0y + 10z - (-10) = 0
10z + 10 = 0
10z = -10
z = -1

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору ВС, будет:
10z - 10 = 0

Пример:
Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (-4, 2, -1) и перпендикулярной вектору (1, 2, -1).

Совет:
При решении этой задачи важно правильно вычислить нормальный вектор к плоскости и проверить его ортогональность с вектором ВС.