Какие комплексные числа являются сопряженными своим квадрату?

Предмет вопроса: Комплексные числа и их сопряженные

Разъяснение: Комплексные числа представляются в виде a + bi, где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица (√-1). Сопряженное комплексное число для данного комплексного числа a + bi образуется путем изменения знака мнимой части и обозначается как a - bi.

Теперь давайте рассмотрим комплексное число z = a + bi. Мы хотим найти комплексное число w, такое что w^2 = z. Подставим w = c + di, где c и d - действительные числа. Тогда (c + di)^2 = a + bi.

Раскроем квадрат слева:
(c + di)^2 = c^2 + 2cdi - d^2

Сравнивая реальные и мнимые части обоих выражений, получим систему уравнений:
c^2 - d^2 = a (1)
2cd = b (2)

Решая систему уравнений (1) и (2), получим значения c и d, которые будут комплексными числами, являющимися сопряженными своим квадрату.

Дополнительный материал: Пусть z = 3 + 4i. Найдем комплексное число w, которое является сопряженным своему квадрату.

Для решения данной задачи, мы должны решить систему уравнений:
c^2 - d^2 = 3 (1)
2cd = 4 (2)

Решив данную систему уравнений, мы найдем значения c и d, и hence получим комплексное число w.

Совет: Для понимания и решения подобных задач хорошо знать свойства комплексных чисел, в частности свойства сопряженных комплексных чисел. Также полезно освоить навыки решения систем линейных уравнений, так как решение включает в себя решение системы уравнений.

Упражнение: Найдите комплексное число, которое является сопряженным своему квадрату, если дано z = -5 + 12i.