2/5, 3/10, 4/15, 5/20, write the formula for the nth term of the sequence and find the number of the term that equals

Тема урока: Ряды и последовательности

Пояснение: Данный ряд представляет собой последовательность дробей, в которой числитель увеличивается на 1, а знаменатель увеличивается на 5 с каждым следующим членом. Для нахождения формулы n-го члена данной последовательности, необходимо выявить закономерность и написать ее в алгебраической форме.

Мы замечаем, что числитель данной последовательности представляет собой собственную арифметическую прогрессию, где первый член равен 2, а разность равна 1.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: a_n = a_1 + (n-1)d, где a_n - n-ый член прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, d - разность прогрессии.

Получаем формулу числителя: 2 + (n-1)1, что упрощается до 1 + n.

Знаменатель данной последовательности также представляет собой арифметическую прогрессию, где первый член равен 5, а разность равна 5.

Формула для нахождения n-го члена прогрессии: a_n = a_1 + (n-1)d, где a_n - n-ый член прогрессии.

Получаем формулу знаменателя: 5 + (n-1)5, что упрощается до 5n.

Таким образом, формула n-го члена данной последовательности будет: (1 + n) / (5n).

Чтобы найти номер члена последовательности, равного 2/5, необходимо решить уравнение: (1 + n) / (5n) = 2/5.

Мы можем упростить уравнение, умножив обе части на 5n: (1 + n) = 2n.

Решив уравнение, получаем: n = 1.

Таким образом, 1-й член последовательности равен 2/5.

Совет: Для понимания рядов и последовательностей полезно знать основные формулы для арифметических прогрессий. Наблюдайте закономерности и пытайтесь выразить их в виде алгебраических формул. При решении уравнений, упрощайте выражения и ищите корни.

Закрепляющее упражнение: Найдите формулу для n-го члена последовательности, где каждый следующий член увеличивается на 3, начиная с 4. Найдите номер члена последовательности, равного 25.

Тема урока: Расчет последовательности с общим знаменателем

Пояснение: Данная последовательность содержит рациональные числа с общим знаменателем. Для того, чтобы найти формулу для n-го члена последовательности, мы должны определить закономерность изменения числителя в зависимости от номера члена.

В данной последовательности числители каждого члена увеличиваются на 1, начиная с числителя 2 и увеличиваясь на 1 с каждым следующим членом. Знаменатели также увеличиваются на 5 с каждым следующим членом.

Таким образом, формула для нахождения n-го члена последовательности будет:
Числитель = 1 + (n-1)
Знаменатель = 5n

Для расчета номера члена, который равен определенному числу, мы можем использовать обратное преобразование этой формулы. Подставим вместо числителя и знаменателя значения, чтобы найти n.

Пример:
Допустим, мы хотим найти номер члена последовательности, который равен числу 9/15.

Числитель члена последовательности: 1 + (n-1) = 9
Знаменатель члена последовательности: 5n = 15

Решение:
1 + (n-1) = 9
5n = 15

Раскрываем скобки и решаем уравнения:
n = 9 - 1
5n = 15

n = 8
n = 3

Таким образом, номером члена последовательности, который равен числу 9/15, является 8 или 3.

Совет: Для понимания данного типа последовательности полезно использовать диаграммы, таблицы или графики, чтобы наглядно увидеть закономерности изменения числителей и знаменателей.

Дополнительное упражнение: Найдите формулу для n-го члена последовательности с общим знаменателем 8n, где числители каждого члена равны 3, 6, 9, 12 и т.д.